春秋战国科技史之数学知识的积累

数学知识的积累
春秋战国时期，人们在生产和生活实践中，积累了不少的数学知识。但对于数学这个学科，诸子百家中没有一位专门从事它的研究，因而也没有一部专门的数学著作流传下来，数学知识只是散见于各种典籍中。总的说来，这个时期还属于数学知识的积累阶段，尚未形成数学体系。
　　（一）四则运算、分数和筹算１。记数与四则运算在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位制。
　　到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、■等字表示数字的十进单位。
　　《国语？郑语》载史伯对郑桓公说： 合十数以训百体，出千品，具万方，计亿事，材兆物，收经入，行■极。 后世记录大数则改从万进或其他进法。
　　四则运算方法在春秋战国时期已趋完备。如战国初年李悝（ｋｕí，音魁）
　　《法经》中有关于一个农家收支情况的计算，其中已经讲到了减法、乘法和除法，还出现了 不足 之数，虽然当时还未形成 负数 的概念，但为这个概念的出现提供了来源。
　　不少先秦典籍中，出现有乘法口诀的例句，说明此前早已出现了乘法口诀，只是到春秋战国时期，才有不完全的记载。《夏侯阳算经》说： 乘除之法先明九九。 当时的乘法口诀是从 九九八十一 起到 二二如四 止，共３６句，因口诀由 九九 二字开头，故用 九九 作乘法口诀的简称。汉文帝时为博士的韩婴，在他所撰《韩诗外传》卷三里讲了一个故事： 齐桓公设庭燎，为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野有鄙人以九九见者。
　　桓公使戏之曰，九九足以见乎？鄙人曰，……夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？……桓公曰，善，乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣。这个故事说明春秋时期乘除算法已是不足为奇的 薄能 了。
　　２。算筹和筹算我国古代用算筹作为记数工具，并用它发展起了一种独特的计算方法，即筹算。算筹是用小竹棍做的；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。
　　秦以前算筹的长短粗细已无法考证，很可能尚无固定规格，随便找些小木棍即可充用。《方言》中有 木细枝为策 的说法。《汉书？律历志》说： 其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚，而成六觚为一握。 据一汉尺长２３厘米折合，算筹长六寸合１３。８厘米。２７１根正好合成一个一手可以握住的六角形束。１９５４年在长沙左家公山一座战国晚期楚墓中出土的文物中，有竹棍４０根，长短一致约１２厘米，可能就是算筹的实物。
　　１９７８年在河南登封出土的战国早期陶器上，刻有算筹记数的陶文；在战国时期的货币中，也有一些是用算筹记写的数目为纹式的。表示数目的算筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式。如６６７３，筹式是■■。数字中遇有零时，就用空位表示，如８６０３２，筹式就为■■，百位上的空位不放算筹。
　　由于筹式用的是 十进位值制 ， 位值制 也叫 地位制 ，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以数字中的空位很容易辨别。筹算的加减法很简单，摆上两行数字，位数对齐，相加相减变成一行数字就得出结果。乘除法的步骤稍复杂一些。乘法分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当于被乘数、积和乘数。先以上位的首数乘下位各数，从左到右用算筹布置乘得的数于中位，乘完后去掉上位首数的算筹；再用上位第二数去乘下位各数，两次之积对应位上的数相加。如此继续下去，直到上位各数全部去掉，中位就是二数相乘之积。如８４×u65302X１，先摆成图１中ａ的样子，用 ８０ 去乘 ６１ 得４８８０。去掉已用过的 ８ ，成图ｂ的样子；再用 ４ 去乘 ６１ 加到４８８０上，将上下位皆去掉，就是所求的乘积５１２４，如图Ｃ所示。
　　■图１乘法筹算图示古人称被除数为 实 ，除数为 法 ， 实如法而一 ，即实中有等于法的数所得（商）为１，实中有几个法所得（商）就是几。筹算的除法也分三层摆筹，中位为实，下位为法，上位为商。法摆到实够除的那一位之下，除完向右移动。如５９８７÷u65297X６，先用算筹布置 实 与 法 如图２中ａ。因 ５９ 够 １６ 除，所以将 １６ 摆在 ５９ 之下。用 １６ 去除 ５９ 得商 ３ （百位）余 １１８７ ，将 １６ 右移一位如图ｂ，再用 １６ 去除 １１８ 得 ７ （十位）余 ６７ ，将１６ 右移一位如图Ｃ。最后用 １６ 去除 ６７ 得 ４ （个位）余 ３ ，如图ｄ所示，这种摆法表示带分数的形式。全部运算可表述为： 实五千九百八十七，如法十六而一，得三百七十四又十六分之三.若恰好除尽，最后只摆出商的筹式即可。
　　■图２除法筹算图示
　　
　　算筹记数用极简单的竹筹纵横布置，就可完全实现位值制记数法，能够表示出任何自然数，这就为加、减、乘、除的运算提供了良好的条件。我国古代数学在数字计算方面的卓越成就，应当归功于遵守位值制的算筹记数法。十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是我国古代一项极为杰出的创造，它比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要更为优越；印度到７世纪才有采用十进位值制记数的确凿证据。据考证，现在通用的所谓 印度- 阿拉伯数码 ，大约在１０世纪才传到欧洲，它很可能就是在我国十进位值制记数法的基础上形成的。英国科学史家李约瑟高度评价我国古代的这一贡献说： 如果没有这种十进位值制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。 ①３。分数的广泛应用春秋战国时期，分数已常被使用，在当时的著作中，有很多关于分数及其应用事例的记载。当时历法计算中的奇零就用分数表示。在生产和生活中大量存在的分配问题，常常需要用到分数概念。在《管子》、《墨子》、《商君书》中记载的分数，大都与分配有关。
　　《管子》在谈到土地种植的分配时有 十分之二 、 十分之四 、 十分之五 、 十分之六 、 十分之七 等分数。《墨子》在讲到食盐的分配时有 二升少半 、 一升大半 的说法。 半 即二分之一， 少半 为三分之一， 大半 为三分之二，都是当时通用的分数术语。《商君书》中描绘一处各种地貌的比例说： 地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，■谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四。 就是说１００平方里的区域内，山陵、薮泽、■谷、都邑各占１／１０，恶田与良田分别为２／１０和４／１０，合为１０／１０。秦孝公采纳卫鞅的意见， 平斗桶、权衡、丈尺 ，建立统一的度量衡制度，现在保存的当时１斗的标准量器 商鞅量 上刻有铭文： 十八年齐遣卿大夫众来聘。冬十二月乙酉，大良造鞅爰积十六尊五分尊一为升。 即公元前３４４年，大良造（官职）卫鞅改定 十六尊五分尊一为升 ， 尊 即 寸 ，这里作 立方寸 解，可知当时定１升为１６■立方寸。
　　《考工记》关于各种器具制造的记载中，由于器具规格的规定而大量使用了分数，而且有了分数运算。如其中记载了一种竹制有棱无刃的兵器 殳 的规格： 凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去其一以为晋围，五分其晋围以其一为首围。 这是说１围＝■长，１晋围＝１围－■围＝■围，１首围＝■晋围。这些例子表明， ｎ分其Ａ，以其一为之Ｂ 已成为 Ｂ为Ａ的１／ｎ 的规范表述。在《考工记？轮人》中还有 十分寸之一谓之枚 的说法，即枚 为１／１０寸的单位名称，这就是后世所用的单位 分.这些记载表明，我国在公元前四、五世纪已建立了分数概念，并有了普遍的应用。
　　从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以１、２、４、８、……递增。这相当于等比数列２■、２■、２■、２■……。在乐律研究中，《管子？地员》篇提出了 三分损益法 的乐律计算方法，其法为 先主（立）一而三之，四开以合九九 ，相当于１×u65299X■＝９×u65305X＝８１。这两个例子说明当时已有了指数的初步概念。
　　①　　 李约瑟：《中国科学技术史》，中译本卷 3，第 333页。
　　（二）几何知识与测量１。勾股测量在战国未年到汉代成书的《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周武王之弟周公姬旦与周朝大夫商高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股法。商高回答说：数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 这是从万物之象不外乎圆方，万物之数离不开圆方的观点出发，把圆、方都归宿于矩；而矩形则可从二数相乘得到。 九九 是乘法口诀， 九九八十一 即表二数相乘之意。商高接着说： 故折矩以为句（勾），广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。 这是说在夏禹时已有了 勾三股四径（弦）
　　五 这个勾股定理的特例的知识了。从《周髀算经》卷上之二所载荣方与陈子的问答，可看出陈子已经掌握了勾股弦定理。文中有 以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜，弦）至日.这是明确的勾■＋股■＝弦■的表述。荣方为周惠王大臣，陈子为陈宣公时公族，都是公元前７世纪中叶人。所以我国发现勾股弦定理至少比古希腊学者毕达哥拉斯（公元前５６０- 前５００年）早一个世纪，所以这个定理应称为 陈子- 毕达哥拉斯定理.《周髀算经》卷上之一载，当周公向商高请教 用矩之道 时，商高答称： 平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。 这里的矩 是指工匠所用的由互相垂直的二直尺做成的曲尺。可见，当时已掌握了利用 矩 的不同摆法来测定目的物的高度、深度和距离了；此外，还掌握了环矩求圆、合矩求方的方法。
　　２。几何测绘由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利工程。早在公元前６世纪，大型土木工程中要预先进行距离、高低、厚薄、土方等测量，并作出工程进度、劳动力安排、粮食和材料的准备等方面的预算。
　　这当然要运用大量的几何知识。如计算土方就是求各种形体的体积，包括立方体、正四棱台等，这都有确定的计算法则。《墨子》中记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问题，都与立体几何有关。
　　春秋时期，在一些地区有了封建制生产关系的萌芽。《春秋》记载，宣公十五年（公元前５９４年）鲁国首先实行对公、私土地一律按田亩征税的 初税亩 制度。这必然要求对各种形状的面积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形、圆等各种面积，已经有了计算法则。
　　春秋战国时期的文献中，包含了不少测量绘图的记载。测量包括直线测量、水准测量和垂直测量，分别称为 绳墨 （或 准绳 ）、 水 和 悬. 绳墨 就是打墨线以取直； 水 就是以水平面为标准测量坡度和高程； 悬 就是用铅垂线以定竖直。《考工记？匠人》篇载有： 匠人建国，水地，以悬置■以悬，■以景。水 就是指 水平 ， 水地 就是以水平面作标准把地整平； ■ 为木质的表， 悬 即用绳悬挂一重物， 以悬置■ 就是用挂有重物的绳作准绳，把表立得和地面（水平面）相垂直。
　　文中还指出，作为高水平的工匠，必须作到 可规可■（矩）可悬可水可量可权 ，就是要掌握（用规）画圆、（用矩）画直、（用铅垂）定垂直、（用水平器）定水平，以及进行容积测量、重量测量的六种技巧，这才能称之为 国工.在《墨子》等书上也有 直以绳，正以县（悬） 的说法。
　　当时在制造各种农具、车辆、兵器、乐器的工作中，常常会遇到不同部位有不同角度的要求，这就需要进行角度的测定，于是就形成了角的概念和衡量角度大小的一些单位。《考工记》把角称为 倨句 （ｊùｇōｕ，音巨勾）， 倨 就是钝， 句 就是锐，用 倨句 表示角就像通常的语言中用 多少 来表示量一样。一个直角在《考工记》中称为 倨句中矩 或简称 一矩.例如在磬氏 节中讲 磬氏为磬，倨句一矩有半.磬为古代一种石制乐器，由大小不同的一组磬按次序吊起来，敲击发出高低不同的声音。
　　每个石磬背部折角的大小是一个直角（矩）再加上半个直角，即１３５°u12290X《考工记》 筑氏 节记有： 筑氏为削，合六而成规 ； 弓人 节又说：为天子之弓，合九而成规；为诸侯之弓，合七而成规；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。 这里说的 削 是弯成圆弧形的刀，六个削合起来可拼成一个圆环，说明每个削的圆心角为６０°u12290X 弓人 所述也是用圆心角的大小规定弓背的曲率，要按照社会地位等级的高低制弓。天子用的弓九张合在一起成为一个圆周，士用的弓三张就可合为一个圆周。如果把弓上的弦也连接起来，就会构成圆内接正九边形、正七边形、正五边形和正三角形。
　　《考工记》 卤氏为量 节说： 量之以为■，深尺，内方尺而圆其外，其实一■；其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升；重一钧。其铭曰：时文思索，允臻其极。嘉量既成，以观四国。永启厥后，兹器维则。 可知这个 ■ 是统治者颁布的度量衡的标准量（容）器。 ■ 通 釜 ，齐国容量的单位是１钟＝１０釜，１釜＝４区，１区＝４豆，１豆＝４升。所以１釜或１■是６４升。当时规定１釜的容积为１立方尺，或１０００立方寸，所以１升的容积当为１５■立方寸。
　　这些史料表明，春秋战国时期，适应于战争和生产发展的需要，已经积累起了较为丰富的几何知识。
　　３。测量标准和量的比较《考工记？匠人》载： 为规，识日出之景与日入之景，昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。正朝夕 即测定东西南北方位。直立木杆于地作为圆心，描下日出、日入时的杆影，过影端作圆，连接影端作弦，再作弦的垂直平分线；然后参照白天中午的杆影和夜晚北极星的方位校正此垂直平分线，即指出正南正北方向，弦则指出东西方向。
　　《管子？七法》称： 不明于则而欲出号令，犹立朝夕于运均之上.《墨子？非命上》也记载墨子的话说： 必立仪。言而毋（无）仪，譬犹运钧（均）之上而立朝夕也。 这都指出了在运转的陶车之上是无法测定东西南北方位的，即测量必相对于静止的参照体系进行。《墨经》经下称 ［经］取下以求上也，说在泽。［说］取：高下以善（差）不善（差）为度。…… 这里指出了高低的测量应以水面（泽）为基准而测出高下之差。这和现代以海平面为基准测各种地势的垂直高度是同样的方法。
　　《墨经》还指出了不同质的量不能相比较，如木之长与夜之长分属空间量与时间量，不能相比较；智慧与粮食不能比较多少，等等。
　　（三）组合数学和运筹学的思想萌芽我国流传至今的最古典籍之一《易经》，是符号体系和概念体系的统一体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性，梁启超就说过： 易学也可以叫数理的哲学。 《易经》的符号体系是由代表 阴爻 的 —— 和代表 阳爻 的- 两种基本符号通过排列组合而得出的 四象 、 八卦 和 六十四卦 的集合。
　　把- 、 —— 各与- 、 —— 排列一次，共有２■＝４种组合，就是 四象 ；再把- 、 —— 与 四象 各配一次，即由三个爻组成一组，共有２■＝８种组合，就是 八卦.八种符号分别象征天（■）、地（■）、水（■）、火（■）、风（■）、雷（■）、山（■）、泽（■）
　　八种自然事物，再相应赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六个爻组成一组，共有２■＝６４种组合，即 八八六十四卦.由于 阴 和 阳 是我国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因而在逻辑体系上由 阴 和 阳 两种符号的排列组合而形成的 六十四卦 ，就可以表示出事物和现象的六十四种可能的状态。如自然界的天和地、山和泽、水和火、风和雷；人的刚柔、喜怒、哀乐；人事的吉凶、祸福；事物的表里、虚实等。这些对立的事物和现象相反相成、互相转化构成了宇宙间的一切变化和发展。所以卦爻从下（第一个初爻）到上（第六个上爻）的每种排列，都可以表示出事物的某种发展过程。这样，《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展变化的描述体系。
　　卦爻还反映了二进制的数学思想。如果把阴爻 —— 以 ０ 代替，把阳爻- 用 １ 代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二进制数码的对应关系为：坤　　　　艮　　坎　　　　巽　　震　　　　离　　兑　　　　乾卦画　■二进制数０００　　００１　　０１０　　０１１　　１００　　１０１　　１１０　　１１１十进制数　　　　０　　１　　　　２　　　　　３　　　４　　　　　５　　　　　６　　　７所以，六十四卦也可表成二进制展开式和相应的自然数序：①００００００／０００００１／００００１０／００００１１／０００１００／０００１０１／０００１１０／０００１１１００／０１／０２／０３／０４／０５／０６／０７００１０００／００１００１／００１０１０／００１０１１／００１１００／００１１０１／００１１１０／００１１１１０８／０９／１０／１１／１２／１３／１５０１００００／０１０００１／０１００１０／０１００１１／０１０１００／０１０１０１／０１０１１０／０１０１１１１６／１７／１８／１９／２０／２１／２２／２３０１１０００／０１１００１／０１１０１０／０１１０１１／０１１１００／０１１１０１／０１１１１０／０１１１１１２４／２５／２６／２７／２８／２９／３０／３１１０００００／１００００１／１０００１０／１０００１１／１００１００／１００１０１／１００１１０／１００１１１３２／３３／３４／３５／３６／３７／３８／３９１０１０００／１０１００１／１０１０１０／１０１０１１／１０１１００／１０１１０１／１０１１１０／１０１１１１４０／４１／４２／４３／４４／４５／４６／４７１１００００／１１０００１／１１００１０／１１００１１／１１０１００／１１０１０１／１１０１１０／１１０１１１４８／４９／５０／５１／５２／５３／５４／５５１１１０００／１１１００１／１１１０１０／１１１０１１／１１１１００／１１１１０１／１１１１１０／１１１１１１
　　①　　 按照宋代邵雍的 六十四卦方图 译为二进制数表。
　　５６／５７／５８／５９／６０／６１／６２／６３１６９８年，德国哲学- 数学家莱布尼茨（１６４６～１７１６年）在法王路易十四派往中国的传教士白晋（１６５６～１７３０年）的影响下，开始研究《易经》。１７０１年４月，莱布尼茨把自己研究的二进制数表介绍给白晋；同年１１月白晋把邵雍的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四卦方位两张图介绍给莱布尼茨。莱布尼茨立即发现六十四卦就是０～６３的二进制数表，六十四卦圆图的结构和他研究的二进制算术是一致的。所以，莱布尼茨对于《易经》中的八卦给予了很高的评价。他说： 易图是留传于宇宙间科学中之最古纪念物。 在一封信中他说： 《易经》也就是变易之书，在伏羲的许多世纪以后，文王和他的儿子周公以及在文王和周公五个世纪以后的著名的孔子，都曾在这六十四个图形中寻找过哲学的秘密，……这恰是二进制算术。……在这个算术中，只有两个符号０和１，用这两个符号可以写出一切数字。 ①二进制是现代电子计算机所采用的主要进位制。
　　春秋战国时期，在军事、博奕活动中，为了进行筹划， 运筹 的思想有所发展。春秋末期著名军事家孙武在他所著《孙子兵法》中就提出过以弱敌强要以 我专为一，敌分为十，是以十攻其一也，则我众而敌寡 的策略。
　　这就是要集中自己的兵力而分散敌人的兵力，用集中的兵力攻击分散之敌，形成局部 我众而敌寡 的形势，以取得以少胜多的结局。这个策略后来也为战国时期的著名军事家孙膑所运用。
　　《史记？孙子吴起列传》中记载，战国初齐国大将田忌与齐威王以千金（１０００斤铜）为赌注进行赛马的事。各人都有上、中、下马各一匹，而田忌的三匹马都稍逊于齐威王的三匹马。孙膑向田忌提出对策：以己之下马对人之上马，以己之上马对人之中马，以己之中马对人之下马；结果田忌输了第一场而赢了后两场，以一场的失败换取了全盘的胜利，这是对策论中争取总体最优的一个范例。
　　（四）墨家和名家的数学思想春秋战国时期，在实用数学知识丰富积累的基础上，人们也开始探讨一些抽象的数学理论问题，这种探讨在墨家和名家的著作中有较多的反映。
　　墨家学派的成员大都参加实际的生产活动，从生产技术活动中提炼出不少自然科学知识。在现存的《墨子》五十三篇传本中，有《经上》、《经说上》、《经下》、《经说下》四篇，合称《墨经》，是墨翟和他的门人弟子所著，大约写于公元前５世纪到公元前３世纪之间，其中包含了有关逻辑学、数学和物理学的一些论题。在文字叙述上，［经］提出论题，［说］则对相对应的经文作出解释。
　　在《经上》和《经说上》中，记载了墨家关于数学、特别是几何学（形学）问题的论述。这些论述包括以下有关的定义和说明： 平 （同高）； 直（ 参也 ，即三点共线）； 体 （ 分于兼也 ，即部分之和）； 同长（ 正相尽也 ）； 中 （对称性形体中心）； 圜 （ 一中同长也 ）； 方 （ 框隅四观 ）； 倍 （ 为二也 ）； 厚 （立体）； 端（点）； 间 和 ■ （ 间虚也 ）； 盈 （重合、涵容）； 撄 （相交）； 仳 （比邻、连接）； 次 （二相等形的迭合
　　①　　 莱布尼茨：《致德雷蒙的信：论中国哲学》。译文见《中国哲学史研究》1981年第 3、4 期，1982年第 2期。
　　或二形体相次）；空间的 有穷 、 无穷 和时间的 始 等。这些论述虽然主要是关于数学名词的界说和定义的文字，但却包含有丰富的数理科学思想和严密的逻辑推理。有不少内容与古希腊大约同时期的欧几里得所著的《几何原本》极相符合。
　　在《经下》和《经说下》中，有关于 十进位值制 和用两种方法（ 进前取 和 前后取 ）分割线而得到 不可■ 的 端 的说明。
　　在《庄子？天下》篇中，记载了名家惠施和公孙龙等辩者所提出的一些与数学思想有关的论题，这些论题是：① 至大无外谓之大一，至小无内谓之小一；② 无厚不可积也，其大千里 ；③ 矩不方 ；④ 规不可以为圆 ；⑤飞鸟之影未尝动也 ；⑥ 镞矢之疾，而有不行不止之时 ；⑦ 一尺之棰，日取其半，万世不竭.第１条中的 大一 和 小一 ，从物理学的角度可理解为 宇宙 和 原子 ；而从数学角度来说， 大一 可理解为空间、时间的整体， 小一 可理解为空间的 点 和时间的 瞬时.第２条中的 无厚 可理解为几何学里的线和面，它们都 无厚 而 有所大.惠施断言，积累线不能成面，积累面不能成体，这种认识比《墨经》更为深刻。第３、４条中所说的 矩 和 规 是画方和画圆的工具，但用工具画出来的方和圆与它们的几何定义是不会严格相符的。
　　第５条说鸟在天空飞翔的过程中，每一瞬时都会在地面上特定的位置形成一个影子，这个影子是没有移动的，这和第６条所说的 飞矢 的情况一样。射出的箭每一瞬时都占有空间的一个特定位置，因而在该瞬时可以说是静止在这个位置上的，但它同时又正在离开这个位置，这就是 不行不止 的状态。公元前５世纪，古希腊学者芝诺也提出过 飞矢不动 的辩题，不过他的目的是要否定运动的真实性，以论证一切存在都是静止。而名家的这两个论题却没有否定运动的真实存在，只是深刻地揭示了运动和静止的辩证统一，即动中有静，静不抑动。
　　第７条中的 棰 同 ■ ，是古代一种策马杖。一尺长的木棒，每天取其所剩下的长度的一半，如此下去，永远也不会取完。这是用具体的比喻来说明物质是连续的和可以无限分割的。从纯数学上说，这个命题相当于■虽然Ｌ可以无限地趋近于零，但无论ｎ为多么大的数，Ｌ却永远也不会等于零。