元朝科技史之数学

数学
　　（一）我国古代数学发展的高峰期
　　我国古代数学经数千年的发展，到宋元时达到了高峰期。而元代更是这种高峰期的顶峰状态。如中国自然科学史研究室数学史组在其《宋元数学综述》一文里说： １３世纪下半纪（主要指元代）特别值得我们注意。如果说宋元数学是以筹算为中心内容的中国古代数学发展的高潮，那么１３世纪下半纪正就是这个高潮的顶峰。 ①我国已故著名数学史专家钱宝琮先生也说： 中国数学以元初为最盛，学人蔚起，著作如林，于数学史上放特殊光彩。 ②可见元代数学在我国数学史上所占的重要地位。
　　元代数学之所以达到我国古代数学的高峰期，其主要标志是涌现出了一批著名数学家及其著作，提出并解决了一些数学方面的高难问题，取得了杰出成就。
　　元代著名数学家有李冶、朱世杰、蒙哥等人。李冶著有《测圆海镜》１２卷、《益古演段》３卷；朱世杰著有《算学启蒙》３卷、《四元玉鉴》３卷；蒙哥对古希腊伟大数学家欧几里得的《几何原本》有研究。李冶提出了立方程的方法（即天元术），朱世杰提出了多元高次联立方程的解法（即四元术）
　　及垛积术与招差法。这些都是具有世界性影响的成就。
　　这些成就的取得是有其深刻的社会原因和数学本身发展原因的。
　　从社会政治经济对数学发展的影响来看，元代虽然一度战火连天，但长江下游一带受战争的影响较小，社会经济得到了不断发展，商业贸易也比较繁荣。商业的繁荣就日益向数学提出要求，怎样才能够更快更准确地进行计算并迅速掌握各种计算方法？元代在南宋 乘除捷法 和各种 歌诀 的基础上，又出现了不少内容更丰富的实用算术书，解决了社会实践向数学提出来的要求，从而也促进了数学的发展。如朱世杰的《算学启蒙》就是一本启蒙性的通俗教科书，其中有不少便捷的歌诀如九九乘法歌与归除歌诀等。这样与社会实践的结合，同时又引来了更多的人渴望接受数学教育。祖颐为朱世杰《四元玉鉴》所作序言中就说： （朱世杰）周流四方……踵门而学者云集.莫若的序文也说： 燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众。 群众基础的深厚，当然对数学的发展有极大好处。
　　不仅在南方如此，在北方数学也有深厚的群众基础。当时在太行山南麓东西两侧的山西、河北部分地区就形成了另一个数学发展中心。如祖颐为朱世杰《四元玉鉴》所作序中叙述从 天元术 到 四元术 的发展过程中所提到的平阳、博陆、鹿泉、平水、绛、霍山等地就属此地区。元代著名的天文学家郭守敬、王恂等人未仕元前就都隐于今河北武安紫金山中。这一带在金元时期受战争破坏不是很严重，经济情况较好，是当时北方的一个文化中心。加之此时这个地区造纸业和印刷业也极为发达，其 平水版 印本书可和南宋的印本书相媲美。这些无疑对数学的发展提供了有利条件。如果说当时南方长江下游一带在改革筹算方面，把筹算系统的计算方法改进到十分完美的地步，那么北方河北与山西南部地区则从设立未知数、立方程和消去法方面（即天元术和四元术），也把筹算发展到登峰造极的程度。
　　①　　 见《宋元数学史论文集》。
　　②　　 见《钱宝琮科学论文选集》。
　　从数学本身发展的内在规律来看，元代数学继承了前代成果并解决了前代所未解决而又亟需解决的问题。如关于 天元术 和 四元术 的发展问题。在我国古代著名的数学著作《九章算术》（约公元１世纪）的开方法中， 借一算已有未知数Ｘ２的含意，唐代王孝通在立方程过程中也用到了多项式的计算。到了宋代数学家们把 增乘开方法 由开平方、开立方推广到开任意高次方之后， 天元术 的形成就剩最后一跃了。金末元初的李冶完成了这最后一跃。当 天元术 的问题解决后，人们自然而然地又会提出解决高次联立方程的问题。朱世杰 四元术 的提出很好地解决了这一问题。 四元术 用上下左右的不同位置来表示高次的四元式，最多不能超过四元，所以可以说筹算在这方面被发展到顶点了。
　　另外，数学的发展还与其它学科有密切的关系。如 大衍求一术 （一次同余式解法）和高次的招差法公式与天文历法的推算就密切相关。天文历法的推算需用高次招差法这一数学学科的方法，只有当人们从数学方面解决了一系列的高阶等差级数求和问题（各种垛积问题）之后才能最后完成这一方法，天文历法推算的需要向数学学科提出了问题，数学学科问题的解决又促进了天文历法的发展。所以说，元代的天文历法与数学均达到了我国古代的高峰期，是与二者相辅相成，互相促进分不开的。
　　总之，元代数学的发展之所以达到我国古代数学发展的高峰期甚至巅峰状态，是由当时特定的社会政治经济环境及数学学科本身的发展规律所决定的。
　　（二）天元术与四元术
　　元代数学发展的突出成就主要表现在天元术与四元术，内插法与垛积术的提出与解决。
　　１。天元术我们要运算一个实际问题，一般要分两步进行，第一步要根据问题给出的条件列出一个包括未知数的方程，第二步是解方程求出它的根。天元术就是建立代数方程的一般方法。由于所说的未知数在当时称为天元，所以这种方法就被称为天元术。
　　中国古代很早就有了方程筹算的表示法，但如何建立方程却还没有一通用的方法。据史书记载，可能到了１２世纪有了天元术这一一般方程式的雏形，但直到李冶的《测圆海镜》、《益古演段》里才有了比较详细的天元术的内容记载。亦即从数学史角度看，直到１３世纪下半期才有了比较成熟的天元术这一普遍列方程的方法。
　　元代天元术和现代列方程的方法极为相似。它首先是 立天元一为某某 ，亦即现代的 设Ｘ为某某 的意思，其次再根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，令二者相减即可得出一个一端为零的方程。这种以相等二个多项式相减以列出方程的步骤，被称为 同数相消 或 如积相消.在天元术中写出一个多项式，常常是在一次项旁记入一个 元 字，或正常项旁记一个 太 字。
　　天元术只表示一个未知数，即一元。但它的设未知数解方程在世界数学史上都占有重要地位。在欧洲，１６世纪以前的代数方程式还是用文字来叙述表达的。那时要说明一个数学问题，解一道方程，要用很多文字来说明，简直如写一篇文章。直到１６世纪法国数学家韦达建议用元音字母代表已知量，用辅音字母代表未知量，数学符号才出现。但它要比我国元代天元术代表未知量晚数百年。
　　２。四元术天元术出现后不久又出现了天元、地元两个未知数，又出现了天元、地元、人元３个未知数，最后推到天元、地元、人元、物元 四元术 ，即用天、地、人、物作未知数表列的四元高次方程组。祖颐在为朱世杰的《四元玉鉴》所作的后序中，在叙述由天元发展到四元的过程时说： 平阳李德载因撰两仪群英集臻兼有地元，霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰乾坤括囊末仅有人元二问，吾友燕山朱汉卿（世杰）先生演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物，立成四元。 李德载、刘大鉴的著作已无传本，关于四元术内容的记载目前主要见朱世杰的《四元玉鉴》。朱氏《四元玉鉴》对高次方程组有固定的记法。
　　四元术的解题用四元消法，即把四元消去一元变成三元三式，再消去一元变成二元二式，再消去一元就得到一个只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求正根，并用分数表示正有理根或无理根的近似值。以朱世杰的《四元玉鉴》为例，其二元多行式的消法是采用 互隐通分相消 ，及所谓 左右进退 、 横冲直撞 等方法，即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。三元式和四元式的消法又采用 剔而消之 法，使该方程式最后亦变为一个一元的高次方程。
　　运用四元消法可解决求解任意四元高次方程组的问题，使之化为一元进而解决之。在欧洲，高次方程组的消去法问题，只有到了１８世纪法国数学家别卓（Ｂēｚｏｕｔ，１７７９年）的著作中才有系统的叙述，后又经英国数学家西勒维思特（Ｓｙｌｖｅｓｔｅｒ，１８４０年）和凯雷（Ａ？ｃａｙｌｅｙ，１８５２年）等人的工作，方才出现了完整的消去法理论，比我国元代晚４００-５００年。并且欧洲数学家们所建立起来的乃是着重讨论消去的可能性以及普遍的消去法理论，在解决具体的多元高次方程组方面，我国元代的消去法至今仍有一定的参考价值。
　　（三）内插法和垛积术
　　１。内插法已知函数ｆ（ｘ）在自变量是Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３……Ｘｎ时的对应值是ｆ（ｘ１），ｆ（ｘ２）……ｆ（ｘｎ），求Ｘｉ和ｘｉ＋１之间的函数值的方法叫做内插法。如果Ｘｎ是按等距离变化的，称为自变数等间距内插法；如果Ｘｎ是按不等距离变化的，称为自变数不等间距内插法。元代天文学家郭守敬在编制《授时历》（１２８０年）时曾用到三次差的内插原理。据史书记载，元代数学家已得到了四次差的内插法公式：
　　
　　这里△，△２，△３，△４分别代表各级差分的第一个差分。欧洲数学家格里高利于１６７０年才得到类似的公式，比我国元代晚了３６７年。
　　另外，朱世杰在其著作中还正确地指出了上述四次内插公式中各项系数恰好依次等于前一串高阶等差级数求和公式的结果，因此可以认为元代数学家已经掌握了任意高次内插法的公式。这比欧洲同类结果更早５００余年。
　　２。垛积术垛积术就是高阶等差级数求和。如果一个级数（例如，１＋３＋５＋７＋９……）
　　的每一项减去它的前一项所得到的差都相等，那么这个级数叫做等差级数。
　　如果一个级数（例如１２＋２２＋３２＋５２＋……）的每一项底数减去它的前面一项底数所得的差构成一个等差级数，那么这个级数叫做二阶等差级数。如果一个级数的每一项底数减去它的前面一项底数所得的差构成一个二级等差级数，那么这个级数叫做三阶等差级数。以此类推。二阶以上的等差级数统称为高阶等差级数。
　　元代垛积术成就主要记载于朱世杰的《算学启蒙？堆积还原门１４问》和《四元玉鉴？茭草形段７问》、《四元玉鉴？如象招数５问》、《四元玉鉴？果垛叠藏２０问》等书中。在此之前的沈括（１０３１- １０９５年）在其所著的《梦溪笔谈》中就有 隙积术 ，并且给出了长方台垛的正确公式。后来杨辉在其１２６１年至１２７５年之间完成的著作中也得到三角垛、方垛、果子垛等公式，但直到朱世杰才开始了新局面。朱世杰的著作中提出了撒星形、撒星更落一形垛等新的垛积问题，并把招差术进一步推向前所未有的完备境界。正如清代学者阮元所说： 茭草形段、如象招数、果垛叠藏各问，为自来算书所未及。 元代垛积术的重要成果是得出了三阶等差级数的求和公式。用现在符号的写法其公式为：
　　
　　此公式和现代所叫的 牛顿公式 完全一样。但英国著名数学家牛顿直到１６７６- １６７８年才获得高阶等差级数的求和公式，比我国元代晚了近４００年。
　　（四）李冶及其《测圆海镜》、《益古演段》
　　李冶是金末元初的一位著名数学家和文学家、历史学家。他曾名李治，字仁卿，号敬斋，１１９２年诞生于燕京大兴城一个官僚家庭，祖籍真定栾城（今河北栾城县）。他的数学著作主要在元代刊刻流行并引起学界重视。他的父亲李遹博学多才、能诗善画，曾考取金代进士，出仕后在大兴城胡沙虎手下任职。胡沙虎是个暴虐无道，依势卖权，残害百姓的昏官，李遹与其开展了斗争，但终被排挤打击，退职闲居。其间李遹为防意外，将家属送回栾城老家，而独将少年李冶送到元氏（今河北元氏县）读书。但金代的黑暗统治、官场腐败对李冶产生很大影响，他曾在所著《敬斋古今黈》里说： 今王不知其然，于其九族之中，号为君子，有徽美之道者可亲而不亲，乃于谗谄邪佞之小人，与之连属也。 表达了上对君王，下对宠臣的不满。
　　１２３０年，李冶到洛阳应试，以自己的才学中词赋科进士并被授官。初任高陵（今陕西高陵县）主簿，但因窝阔台汗已率兵攻入陕西而未赴任，旋转任钩州（今河南禹县）知事。１２３２年，蒙古军破钧州，李冶遂弃官微服北渡，隐居于晋北崞山桐川（今山西北部崞县境）专心于学术研究。此时晋北已为蒙古军占领多年，故战事较少，相对安静。李冶寻得这块静地，并四处筹措经费，得到了当地官吏及社会学者名流如王鹗、张德辉、元好问等人的赏识与支持，获得了一个比较好的研究环境。
　　元宪宗蒙哥元年，李冶转往他少年求学的元氏继续进行研究工作。并在封龙山下置买了一些田产，经济条件有了很大改善。此期间他与学者文人多有交往，与张德辉及元裕等人关系密切，时人称之为 龙山三老.１２５７年，深知汉族知识分子重要的元世祖忽必烈，听从张德辉等人的建议，下令召见窦默、姚枢、李俊民、李冶、魏璜等汉族知识分子。这年５月，李冶应召到元上都拜见了世祖忽必烈。拜见中世祖问李冶治国之道及当时发生地震的原因，李冶在回答中指出，治国之道在于 有法度，控名责实，进君子，退小人。 关于地震，他认为 天裂为阳不足，地动为阴有余……，今之震动，或奸邪在侧，或女谒盛行，或谗慝交至，或刑罚失中，或征伐骤举，五者必有一于此矣。 ①李冶关于地震的言论虽然落入了唯心谶讳学之套，但他希望去奸邪、省刑罚、止征讨之心可鉴。所以得到了元世祖忽必烈的奖赏。
　　元世祖中统五年（１２６４年），商挺上书建议世祖编写辽金二史及本朝史，并举荐王鹗、李冶、徐世隆等人。同年，翰林学士王鹗也奏本要求编辽金及本朝史，并提议设立翰林学士院，同时推荐李冶、王磐等人为翰林学士。元世祖诏准，于是李冶又被召为翰林学士参加辽、金、元史的编写。后以老病告退。至元十六年（１２７９年）卒于封龙山故居。
　　李冶著述颇丰，有《测圆海镜》１２卷、《益古演段》３卷、《泛说》４０卷、《敬斋古今黈》４０卷、《文集》４０卷、《壁书丛削》１２卷等数学与文史著作多种。
　　《测圆海镜》１２卷，至元十九年（１２８２年）刊行，是一部论述天元术的重要著作。全书共１２０问，每问给出的解法或一种或数种不等，比较全面系统地介绍和论述了列天元的方法、步骤，即现代的列方程方法。由于我国古代算术、几何、代数不分家，所以此书虽中心思想是阐明天元术，但它以圆与直角三角形为建立天元术的根据，涉及到了不少几何学知识。如圆与直角三角形的若干定理。
　　《测圆海镜》是我国１３世纪中后期天元术的代表作，对后世产生较大影响。特别是清代学者对它研究较多并给予高度评价。李善兰在重刻《测圆海镜》序中说： 至今后译西国代数微积分诸书，信笔直书，了无疑义者，此书之力焉。又说： 中华算书无有胜于此者。 此书以１７９７年元和李锐受阮元之嘱，根据四库全书本与丁杰收藏本互校，并新设四卒附于 识别杂记 后，又加按语本最为流行。
　　①　　 见《元史？李冶传》。
　　《益古演段》３卷，是李冶又一部关于天元术的著作。刊刻于世祖至元十九年（１２８２年）。其前身是《益古集》。《益古集》约产生于１１- １３世纪期间，今已亡佚，李冶的《益古演段》就是对其的演绎与通俗化。李冶在《益古演段》自序中说： 近世有某者，以方圆移补成编，号《益古集》，真可与刘（徽）李（淳风）相颉颃。余犹恨其閟匿而不尽发，遂再为移补条段，细翻图式，使粗知十百者，便得入室啗其文。 《四库提要？益古演段》及清人李锐也有类似说法。
　　《益古演段》与《测圆海镜》二书的关系，后者是对天元术的专门研究著作，前者是天元术的普及性著作，亦即入门书。但二书对天元式各项的表达顺序不同。《测圆海镜》中取消了用地元表示负数次幂，只用一个天元，并采用正数次幂在上，常数与负数次幂在下的排列顺序，而《益古演段》在表达顺序上正好相反。《测圆海镜》用的是古法图式，《益古演段》用的是今法图式。二者之所以不同，据有的研究者认为采用古法可能是李冶不赞同彭泽用《易经》加以解释的缘故，采用今法可能是为了使天元术表示法与我国古代传统的开方图式相一致，但二书的贡献是突出的。《益古演段》在当时不少学者鄙视天元术这些 九九小技 的情况下，使其简单通俗普及化的作用是值得肯定的。
　　（五）朱世杰及其《算学启蒙》与《四元玉鉴》
　　朱世杰是我国元代一位成就卓著的数学家，他的《算学启蒙》与《四元玉鉴》在我国数学史上占有重要地位。可惜这样一位伟大数学家及其生平经历今知之甚略，只能借助赵城《算学启蒙》序和莫若、祖颐的《四元玉鉴》序略知梗概。
　　朱世杰，字汉卿，自号松庭，籍贯在燕京一带。如赵、莫、祖等人序文都提到 燕山松庭朱君 、 燕山朱汉卿先生 ，《四元玉鉴》卷首也注明 寓燕松庭朱世杰汉卿编述 等语可证。
　　朱世杰生活及从事学术研究的年代大约在１３世纪末到１４世纪初。如莫若序中说： 燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学。为书三卷……名曰《四元玉鉴》。 祖颐后序中也说： 汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。 莫、祖二序写于《四元玉鉴》付刻的１３０３年左右，那么序中所言朱世杰 周游湖海二十余年 ，大概在１３世纪的最后二、三十年间，并且不仅从事数学研究，而且还从事数学教学工作。
　　元初由于世祖忽必烈重视汉文化，提倡科学技术，所以在我国南北方普遍重视数学的普及与研究的基础上，形成了南北两个不同侧重的系统，各具风采。朱世杰吸收借鉴了南北各自之精华长处，著成《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
　　《算学启蒙》３卷，２０门，２５９问。它包括了乘除、面积、体积、垛积、盈不足、差分、方程、开方、天元术等当时数学的各个方面，形成了一个较完整体系，是一部很好的入门书。其卷首列一 总括 ，包括乘除口诀及常用数据１８条，是为入门知识。正文分上中下３卷。
　　上卷８门、１１３问。其中①纵横因法门（８问），即乘数为一位数的乘法；②身外加法门（１１问），即乘数首位数字是１的乘法；③留头乘法门（２０问），即多位乘法；④身外减法门（１１问），即除数首位是１的除法；⑤九归除法门（２９问），即多位除法；⑥异乘同除门（８问），即比例问题；⑦库务解税门（１１问），即利息问题和税收问题；⑧折变互差门（１５问），即较复杂的比例问题。
　　中卷共７门７１问。其中①田亩形段门（１６问），即各种形状的田亩面积；②仓囤积粟门（９问），即粮仓容积计算；③双据互换门（６问），即复比例问题；④求差分和门（９问），即和差问题；⑤差分均配门（１０问），即比例配分问题；⑥商功修筑门（１３问），即土建工程中各种土方的计算；⑦贵贱反率门（８问）。
　　下卷共５门，７５问。其中①之分齐同门（９问），即各种分数计算；②堆积还元门（１４问），即各种垛积问题；③盈不足术门（９问）；④方程正负门（９问）；⑤开方释锁门（３４问），系统他讲解了利用天元术来解决各种问题的算法。
　　从上述所列目录来看，《算学启蒙》主要是介绍论述实用算术的启蒙书，同时也包括了当时数学发展的最高成就 天元术 ，形成了一套完整的体系。
　　所以清人罗士琳说《算学启蒙》一书， 似浅实深 ，并说《算学启蒙》与《四元玉鉴》两书 相为表里.《算学启蒙》由于它的实用性与系统性，不仅在我国广为流传，而且还流传到了朝鲜和日本。在朝鲜李朝时，《算学启蒙》被作为教科书，与《详明算法》、《杨辉算法》一道作为选拔算官的基本书籍。在日本，自土师道云于１６５８年刊行了《算学启蒙训点》后，有多种注释新编本刊印流行。
　　《算学启蒙》现流行的版本除清人罗士琳扬州刻本外，尚有清光绪八年（１８８２年）醉六堂本和测海山房中西算学丛刻本等。
　　《四元玉鉴》是朱世杰论垛积术与四元术的杰出著作。全书３卷，２４门，２８８问。其中上卷共７门，７５问；中卷共１０门，１０３问；下卷共８门，１１０问。但总括全书，所有的问题都和方程式或方程组有关，其解法也都需立天元一，或立二元、三元乃至四元。如全书２８８问，其中四元方程组７问，三元方程组１３问，二元方程组３６问，一元方程组２３２问。
　　《四元玉鉴》最重要的内容和最突出的成就，一是 四元消法 ，即高次方程组消去法问题；二是关于高阶等差级数的有限项求和问题。此二项在中国数学史上占有极重要地位，同时比国外的同类成果也要早几百年。
　　《四元玉鉴》在１５、１６世纪虽有一定流传，但此时学界对其中的天元术和四元术还不甚了了，直到清道光年间（１９世纪初）此书重新刊刻，才又引起重视与研究。其中以罗士琳与沈钦裴最为著名。罗士琳参考各种本子，对《四元玉鉴》提出了１３０余处校改，并对每一问题给出了详草。１８３４年罗氏著《四元玉鉴细草》出版后，成为探讨《四元玉鉴》的必读书籍。沈钦裴也有关于《四元玉鉴》的细草钞本。本世纪初日人三上义夫还曾将《四元玉鉴》介绍到了日本国，其后康南兹也作过英文介绍。
　　（六）《几何原本》的最早研究者蒙哥
　　《几何原本》是古希腊伟大数学家欧几里得于两千多年前所写的一部经典性的几何名著。该书在世界数学界产生重要影响，世界上许多民族都用自己的语言翻译出版了这部名著，并进行了广泛深入的研究。
　　在我国见于文献记载的，最早对《几何原本》进行研究的是蒙哥。
　　蒙哥是成吉思汗系诸王中最有学识的一个皇帝。他是成吉思汗之孙，睿宗拖雷之子。其母怯烈？唆鲁禾帖尼，后晋封为庄圣太后。他生于太祖三年（１２０８年）农历１２月３日，１２５１年即帝位，号宪宗。
　　蒙哥在位期间，派遣其弟忽必烈经营大西南，先后征服了 吐蕃 （西藏），使西藏第一次纳入中国版图；统一了 大理国 （今云南境），使其再未脱离中央王朝的统治；接着大举发兵攻南宋，为元世祖忽烈统一中国、建立元朝奠定了基础。同时由于他重视和爱好科学技术，所以对１３世纪下半期在蒙古势力占领并统治的今山西、河北一带形成一个数学研究中心起了促进作用。
　　蒙哥在数学方面亦有卓越知识，《多桑蒙古史》记载说： 成吉思汗系诸王以蒙哥皇帝较有学识，彼知解说Ｅｕｃｌｉｄｅ（即欧几里得）氏之若干图式。 即蒙哥曾解说过欧几里得《几何原本》一书中的若干图式。
　　蒙哥时期，在元上都曾有欧几里得《几何原本》的阿拉伯文译本。如元代王士点和商企翁所著《元秘书监志》第七卷 回回书籍 中曾记， 至元十年（１２７３年）十月北司天台申本台合用文书 的书目中，有《兀忽列的四擘算法段数十五部》一种，据学者研究认为就是欧几里得《几何原本》１５卷本的阿拉伯文译本。北司天台所在地的元上都是当时蒙古的政治文化中心之一，蒙哥所研究的 若干图式 就是欧几里得《几何原本》的部分内容，他借助的可能就是此阿拉伯文译本，也许他研究的内容在此译本中还有反映并构成其部分内容。可惜《兀忽列的四擘算法段数十五部》今未流传下来，使我们对蒙哥研究的《几何原本》的详细内容难以了解，但蒙哥是我国第一个对欧几里得《几何原本》进行研究的学者是可以肯定的。汉文译本《几何原本》一直到明代才有徐光启所译的前六卷。
　　蒙哥既然对《几何原本》有研究，那么他对当时盛行于我国北方的天元术和四元术亦应有涉猎，可惜也苦于没有记载。不过加之契丹族天文学家耶律楚材、回族天文学家扎马鲁丁在测算天文历法时也大量运用了数学知识，可知元代我国少数民族对中国数学的发展亦做出了自己的贡献。
　　（七）珠算
　　通过上述介绍可知，我国元代数学主要是在筹算方面取得了突出成就，达到了高峰期，而珠算主要是在明代才大量推行运用开来。但珠算之所以在明代达到成熟期，是和元代的开创之功分不开的。
　　我国关于珠算的记载，最早见于元代。元末陶宗仪在其《南村辍耕录》（１３６６）卷２９ 井？珠喻 条中说： 凡纳婢仆，初来时曰擂盘珠，言不拨自动。稍久曰算盘珠，言拨之则动。既久曰佛顶珠，言终日凝然，虽拨亦不动。此虽俗谚，实切可情。 以算盘珠来比喻婢仆，贬称其只有靠人拨弄才能行动，并说这是俗谚，可见其流行。说明算盘这种新的计算工具当时在我国已颇普及，至少在陶宗仪家乡江浙一带已很普及。
　　另外，元代一些诗文集中也有不少关于珠算的记载。如元中叶诗人刘因在其《静修先生文集》中有一首关于算盘的五言诗。《元曲选》 庞居士误放来生债 内提到 去那算盘里拨了我的岁数 等等。进一步说明珠算在元中后期已得到普遍应用。
　　珠算的出现是由筹算演变而来的。筹算数字中，上面一根筹当５，下面一根筹当１；珠算盘中的上一珠也是当５，下一珠也是当１。由于筹算在乘除中出现某位数字等于１０或大于１０的情形，所以采用上二下五形式，珠算盘也如此。另外，元代许多著名数学家如朱世杰、杨辉、丁巨、何平子、贾亨等人书中为筹算创制的歌诀已十分简捷完备，除 起一 法外与现今流行的珠算歌诀一致。如朱世杰《算学启蒙》 总括 中所列出的 九归除法 口诀：一归如一进，见九进成十。二一添作五，逢二进成十。三一三十一，三二六十二，逢三进成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，逢五进成十。六一下加四，六二三十二，……九归随身下，逢九进成十。
　　与现今珠算歌诀没有多大区别。
　　这种歌诀本来为筹算设计，但歌诀的便捷与筹码移动的笨拙产生了矛盾，于是人们为了使用起来得心应手便创造出更先进的计算工具 珠算盘.其歌诀也借用不误。所以说元代数学家为珠算盘的出现准备了条件，做出了贡献。
　　珠算的发明是我国数学计算法上的一件大事，它在元代已有一定程度普及的基础上，到明代达高峰，后来还远传日本、朝鲜等国。