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数学
（一）宋代数学发展概况
我国古代数学，经过汉唐千余年的发展，形成了以 十部算经 为基本内容的完整体系。到了宋代，又有了惊人的发展。
宋代立国后，经济恢复，各行各业十分兴盛，文化进一步发展。北宋元丰七年（１０８４年），由于雕版印刷十分发达， 秘书省 刻印了《九章算术》等汉唐时期的各种算经，由国家颁行为学校的教学用书。这是我国有史以来第一批印刷体数学书籍。北宋时期，在国子监中曾设立过 算学科.但它时而设立，时而取消，没有持续不断地发展。北宋灭亡，到了南宋，干脆把 算学科 永远废掉了。
贾宪是北宋最著名的数学家，在方程解法上有杰出的成就。他著有《黄帝九章算法细草》，可惜已散失。
北宋时期比较著名的数学家有沈括（１０３１- １０９５年），他涉及的学科范围十分广泛，对数学和天文十分精通，在他的《梦溪笔谈》中记载了若干条与数学有关的问题。
１１２７年，金人攻陷了北宋都城汴梁（今开封），秘书省的书籍和印版全都被掠夺破坏，数学书版大受损毁。在北方，继金之后，又有蒙古族兴起，和南宋形成了南北对峙的局面。恰在这种形势下，中国古代数学却取得了突出的成就，先后有秦九韶、杨辉等数学家的著作出现。这些数学著作记载了许多具有世界意义的学术成就，充分反映了这一时期中国数学高度发展的水平。
南宋大数学家秦九韶著有《数书九章》十八卷（１２４７年），记有高次方程的数值解法和联立一次同余式的解法。南宋杨辉的著作集中反映当时民间商用数学的情况，收录了现在早已失传的各种数学著作中的一些问题和标法，还记载了改革筹算的一些乘除简捷算法。
宋代数学最突出的成就首推高次方程的数值解法与天元术。早在北宋时期，大数学家贾宪就在《黄帝九章算法细草》中首先提出 开方作法本源图 ，即现在的指数为正整数的二项式定理系数表，欧洲人称之为 帕斯卡（１６５４年）三角 ，比贾宪晚了６００多年。贾宪还最早提出 增乘开方法 ，不仅开平方、开立方，并且推广到任意高次幂的开方。南宋的秦九韶在贾宪的基础上，完善了高次方程求正根的增乘开方法，解决了任意高次方程数值解法问题。秦九韶还在数学史上最早用十进数字作无理数的近似值，同时，还发展了列方程的方法——天元术。此外，秦九韶还提出了 大衍求一术 ，即求解一次同余问题。这种方法和现代最大公约数的所谓欧几里得辗转相除法相类似。欧洲直到１８、１９世纪，大数学家欧拉（１７４３年）、高斯（１８０１年）
等对一般一次同余式进行详细研究，才得到与秦九韶 大衍求一术 相同的定理。
宋代数学家对高阶等差级数的研究取得了辉煌的成就。宋代对高阶等差数列的研究最早是由沈括的 隙积术 开始的。沈括在他的《梦溪笔谈》从 酒家积罂 、 层坛 （例如堤坎、城墙等分层筑土工程体积）等实际问题出发提出隙积术 ，相当于解决了高阶等差数列求和的问题。后来发展成为元代朱世杰的堆垛术。
沈括还对弧、弦、矢之间的关系详细考察，给出了我国数学史上第一个由弦和矢的长度求弧长的比较实用的近似公式，即 会圆术. 会圆术 在天文学与其他学科发展中曾起过极重要的作用。元代的王恂、郭守敬在推算授时历中曾加以应用。沈括还记录了北宋初期产生的一种增乘代除法，它是后来珠算归除口诀的前身。
（二）宋代数学发展的最高成就
１。增乘开方法与开方作法源图ǐǐ中国古代将求解一般方程的数值解法称之为 开方法.因为一般方程的数值解法，是由开方的方法推演出来的。早在《九章算术》中已经有了完整的开平方和开立方的方法。北宋大数学家贾宪引入了一种新的开平方、开立方的方法，即增乘开方法，把旧方法中的乘平方、乘立方等步骤用随乘随加的方法来代替。这种方法十分容易推广到高次幂的开方中去。
从现代数学的观点来看，这与 霍纳算式 随乘随加的特点是一致的。
实际上，贾宪的增乘开方法步骤与霍纳算式的演算步骤是完全相同的，但要比英国霍纳早约８００年。贾宪的 增乘开方法 是我国古代数学史上最杰出的创造之一，对宋及元代数学发展有很大影响。
贾宪还创造了开任意高次幂的高次开方法。高次开方法要利用诸如（ａ＋ｂ）２，（ａ＋ｂ）３，（ａ＋ｂ）４，（ａ＋ｂ）５等的展开公式，最关键的在于知道各高次方展开式各项的系数。贾宪在他的 开方作法本源图 中不仅给出了这些公式的系数，而且给出了求解这些系数的方法，仍使用开平方、开立方中所用的随乘随加的 增乘 方法。 开方作法本源图 是一个由数字排列成的三角形数表，如：
其中每一个横行都表示着（ａ＋ｂ）ｎ展开公式中的系数。这一数表在西方数学史中称为帕斯卡三角。在帕斯卡（１６２３- １６６２年）之前，中亚数学家阿尔卡西就曾得到过（１４２７年），欧洲最早得到的是德国数学家阿皮纳斯（１５２７年）。贾宪的创造比他们要早出几百年。
贾宪的增乘开方法可以用来求得任意高次展开式的系数，因而也就可以用这些系数进行任意高次幂的开方。杨辉的《详解九章算法》就曾记载一个四次幂的开方问题，就是41336336，也相当于求解方程X4＝1336336 ，ｘ＝３４。
贾宪所创增乘开方法仅限于解Ｘ２＝Ｎ，Ｘｎ＝Ｎ之类的二项方程，而且方程未知数的系数和实根全是正数。据杨辉记载，１２世纪北宋数学家刘益的《议古根源》中讨论了含有 负方 和 益隅 ；即形如Ｘ２－ａｘ＝ｂ及－Ｘ２＋ａｘ＝ｂ的两类方程（其中ａ＞ｂ，ｂ＞０），并创造了 益积术 、 减从术 解这两类方程的方法。虽然两种方法都不是增乘开方术，但 减从术 比较接近于增乘开方法。其实，刘益的《议古根源》有一道用增乘开方法求益隅四次方程的例题，－５Ｘ４＋５２Ｘ３＋１２８Ｘ２＝４０９６，刘益的方程不是一般的四次方程，首项系数即是负的，又不是 １ ，这在解数学方程方面是一个很大的突破。这是历史上最早用增乘开方法来求任何数字方程的正根。后来南宋的秦九韶在他的《数书九章》中，把高次方程求正根的增乘开方法发展到十分完备的程度。
秦九韶以前的数学家认为 实 是已知量，为正数，相当于常数项在等式的右端。秦九韶认为 实 最好和未知数放在一起，正负相消，组成开方式，可以把增乘开方法的随乘随加贯彻到底。因此他规定 实常为负 ，这样他的开方式相当于数学方程ｆ（ｘ）＝ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ１ｘｎ－２＋ ……＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ＝０，可以求解任何数字方程的正根，他自己称之为 正负开方术.当ａ０≠１时，秦九韶称之为 开连枝某乘方 ，而方程的奇次幂系数为零时，称为 开玲珑某乘方.开方中减根后的常数项一般越来越大，而接近于零，但有时常数项会由负变正，有时常数项符号不变，而绝对值增大。开方得到无理根时，秦九韶发挥了刘徽首创的继续开方计算 微数 的思想，用十进小数作无理数的近似值，这在数学史上是最早的。
２。天元术用求解方程的方法解决实际问题，首先要设未知数，再按问题所列条件列出包含未知数的方程，然后才解方程，求未知数。在上文中贾宪、秦九韶创造的增乘开方法是求解任意高次方程的普通解法。随着求高次方程正根的增乘开方法日臻完备，列方程的方法——天元术也逐渐发展起来。
在天元术之前，数学家们只能借助于文字列某些高次（三次）方程，思维过程和叙述方式极为复杂，随着要解决高次方程的增多，迫切需要创造一种简捷的列方程的方法。宋代有关天元术的许多著作都失传了，现存的有金代李冶的《测圆海镜》（１２４８年）和《益古演段》（１２５９年）。
用天元术列方程的方法是：首先 立天元一为某某 ，就是设现在的未知数Ｘ为某某，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式（就是含这个天元的多项式），把这两个天元式相减，就得到一个天元开方式，就是一端是零的高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。天元术与现今代数方程的列法是一致的。欧洲在１６世纪才开始做到这一点。
在当时，所有用天元式表示出来的方程，都写成有理整式方程的形式。
如果遇到无理式，总是用乘方消去其根号，使之有理化；遇到分式，则总是通分变为整式后，再进行求解。
３。大衍求一术大衍求一术就是求解联立的一次同余式问题，被世界上称为中国的剩余定理。宋代《孙子算经》中的 物不知数 题，作为数学游戏在民间广泛流传： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 即有种东西的数目，用三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问这东西的总数是多少，这是简单的一次同余组问题，相当于求解Ｎ＝２（ｍｏｄ３）＝３（ｍｏｄ５）＝２（ｍｏｄ７）。
秦九韶在《数书九章》中详细、系统地介绍了 大衍求一术 求解一次同余式问题，用现代的表示方法为：已知某未知数Ｎ分别被Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ除时，其余数为Ｒ１，Ｒ２，…，Ｒｎ，即已知同余组Ｎ＝Ｒ１（ｍｏｄＡ１）＝Ｒ２（ｍｏｄＡ２）＝ …
Ｒｎ（ｍｏｄＡｎ），求解满足上列一次同余组的最小正整数Ｎ。秦九韶对除数可以是正整数、分数或小数的情况都给出了圆满的解法。首先要 连环求等 ，就是指Ａ１…Ａｎ为正整数时并不一定任意两个都是互素，连环求等就是要通过接连求出每两个数的最大公约数，将其化成一组两两互素的数，并 约为定母 ，还要使这组数的乘积是Ａ１…Ａｎ的最小公倍数。称为衍母Ｍ，然后即可用大衍求一术求解。
以 物不知数 为例，由于３，５，７除数为两两互素，不必用连环求等，即除数ａ１，ａ２…ａｎ两两互素，衍母Ｍ＝ａ１，ａ２…ａｎ，所以Ｍ＝３×u65301X×u65303X＝ １０５。
衍数Ｇｉ＝ Ｍ／ａｉ，Ｇｉ＝ １０５／３＝ ３５，Ｇ２＝ ２１，Ｇ３＝ １５
《孙子算经》中的 物不知数 是较为简单的一次同余组问题。中国古代历法推算上元积年，则要求解复杂的一次同余组。元、明以后的历法废去 上元积年 的算法，基于历法需要产生和发展的大衍求一术也逐渐失传了。
秦九韶在《数书九章》中系统地总结和发展了一次同余组解法 大衍求一术 ，这是我国古代数学的杰出成就，在世界数学史上也占有重要地位。在西方，直到１８- １９世纪，著名数学家欧拉和高斯才对一次同余组进行详细研究，得到与 大衍求一术 相同的结果，并给出严格的证明。这比《数书九章》晚了近５００年。在大衍求一术中，计算过程的一个关键步骤是求出满足条件ＫｉＧｉ＝１（ｍｏｄａｉ）的诸乘率Ｋｉ。在这里因余数为１，故命名为 求一术.４。隙积术中国古代数学家很早就注意到等差级数问题。宋代对高阶等差数的研究取得了辉煌的成就。宋代关于高阶等差数列的研究最早是由沈括开始的。沈括在他的《梦溪笔谈》卷十八 技艺 中记述了他对隙积术的研究结果。
沈括在《梦溪笔谈》中指出，所谓 隙积 就是指有空隙的堆积体，如垒起来的棋子，一层层筑起来的阶梯形土、石台，酒店堆积起来的坛子等。
它们的形状都与 刍童 相仿，像扣在地上的斗，但边缘有亏缺，中间有空隙，而 刍童 是上下底都是长方形的棱台体。他指出， 刍童 的体积是用上长的２倍与下长的和，乘以上宽为第一项；下长的二倍与上长的和，再乘以下宽为第二项，把这两项相加，乘以高，最后再用六除。沈括经过思考认为，若用刍童 来计算堆积的总数，算出来的数值要比实际的小。他认为应该在 刍童法求出的数值之后，再补加一项。这一项是下宽与上宽之差，乘以高，再用６除所得的数值。
用现代的符号表示，即上底宽是ａ个物体，长是ｂ个物体，下底宽为ｃ个物体，长是ｄ个物体，高是ｎ层的堆垛物体总数（Ｓ）应该是
５。会圆术会圆术是沈括在《梦溪笔谈》中首先提出的，是我国古代数学史上第一个由弦和矢的长度求弧长的比较实用的公式。沈括指出古时只用平分一个圆的方法拆开计算弧长，这样，再会合起来误差就可能达到３倍。他设有一圆，用其半径作为直角三角形的斜边，又以半径减去所割圆弓形的高，得到的差作为直角三角形的一个直角边，再用斜边的自乘减去直角边的自乘，得到的差再开方，然后二倍起来就得到所割的圆弓的弦长。另外把所割的圆弓形的弦长的高自乘，再乘以２，然后再除以圆的直径，把所得的商与圆弓形的弦长相加，就得到所割圆弓形的弧长。用现代数学的符号表示，设ｃ为弦长，ｄ为直径，ｈ为圆弓形高，ｓ为弧长，则计算公式表示为：
在会圆术中，沈括给出了简单、实用的计算圆弧长的近似公式，并且可以证明，当圆心角不超过４５°u65292X其相对误差小于２％，便能达到较高的精度。
沈括还指出： 凡圆田，既能拆之，须会使之复圆。 提出用整体复原来检查局部分割的原则，表明他已经初步认识到分与合的辩证关系，这也是他取得这一成就的重要原因。
考察会圆术的思想实质会发现，早在《九章算术》中已经有计算圆弓形（弧田）面积的近似方法，若仍按上文的符号表示，圆另一方面，当弧较小时，上述扇形面积可以用以弧长为底边，半径为高的直边三角形的面积近似计算，这就能够导出会圆术的公式ｓ≈ｃ＋２ｈ２／ｄ。从这一分析可以看到，建立会圆术的主要思想是在局部上以直代曲。另外，公式还说明，当弧长逐渐缩小直到变成零时，弧和弦即曲线和直线终于等同起来。这是对刘徽割圆术思想中ｓ≈ｃ的一个重要发展，说明北宋时期的沈括已初步接触到现代数学中微分的思想。
６。其他
沈括在《梦溪笔谈》中曾谈到计算围棋的棋局有多少种局面，发现数目太大，不能用现有的大数名称来表达。若棋横直二路，有四个用子位置，就有８１种棋局，即４３４种；若棋盘六路见方，有３６个用子位置，可以变出 十五兆九十四万六千三百五十二亿九千六百九十九万九千一百二十一局 ，即３３６＝１５０，０９４，６３５，２９６，９９９，１２１种；如果棋盘在七路以上，就无法用已有的大数名称表示了。而围棋棋盘横直各十九路，共有１９×1９即３６１个用子位置。
沈括还给出了计算棋局的三种方法。先考虑一个用子位置有黑、白、空三种变化，每增加一个用子位置，就乘上３，一直增加到３６１个位置，每次都乘３，即３３６１为棋局总数；另一算法为先算出沿边的一行作基数，计算有３１９中局，为基数Ａ，每加一行，用这个基数乘一次，乘满１９行，就得到了。此外，还可以拿前文说的基数自己相乘，即Ａ２，这个数放在上位与下位上，用下位乘上位数，再乘以下位数；再把这个新数放在上位上，下位也放上这个数，用下位的数字乘上位数，再乘以下位数，再用基数乘一次就得到棋局总数，即第一次乘后上位为Ａ２，下位为Ａ２，第二次乘后得Ａ４×Ａ２＝Ａ６ 。重新置数后Ａ６×Ａ６＝Ａ１２，Ａ１２×Ａ６＝Ａ１８，Ａ１８×Ａ＝Ａ１９＝３３６１。沈括还指出这种方法计算较快。
沈括在文中写道，考虑通盘３６１个用子位置，大约要写４３个（原文中为５２个）万字，便是棋局总数。用现代数学对数计算３３６１，可知３３６１＝１。７×u65288X１０００）
４３，大数为连写４３个万字。在这里，沈括用排列组合的数学方法来计算千变万化的棋局总数，并提出用数量级的概念来把握大数３３６１的方法，虽然计算的万字级上有偏差，但在当时是个惊人的成绩。
沈括在《梦溪笔谈》中还记载了北宋初年产生的一种增成代除法，其中只需进行加减运算，可以避免使用乘除，只要补亏就盈即可。提出 欲九除者，增一便可；八除者，增二便是.这就是后来发展为珠算口诀的 九一下加一；八一下加二.他还指出位数较少时这种方法较为简捷，位数较多就繁了，不及乘除。并辩证指出 然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也.宋代数学书上值得一提的特殊内容为纵横图，现在称之为幻方。就是将ｎ２个连续的自然数安置在ｎ２个格子中，使纵、横、斜各线的诸数之和相等。
杨辉的《续古摘奇算法》（１２７５年）中记载了四、五以至十行的幻方，现摘录七行、九行、十行的幻方图。纵横图构造也很巧妙，有兴趣的读者不妨研究一下构造的规律。
七行图（纵横斜175）
九九图（纵横斜369）
百子图（纵横斜５０５）
纵横图在古代只是一种数学游戏，近年来发现它在实验设计、组合分析等领域有实用价值。
（三）数学家及其著作
北宋时贾宪、刘益等人的著作已失传，故主要介绍南宋的秦九韶、杨辉。
１。秦九韶与《数书九章》秦九韶（１２０２- １２６１年），南宋数学家，普州安岳人。其父秦季酉曾为绍熙四年（１１９３年）进士。他性格 豪宕（ｄàｎｇ，音荡）不羁 ， 性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究。游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知.他在《数书九章》的自序中，叙述他小时候曾随父到杭州，向太史局（主管天文历法的机构）的官员学习天文历法，并从隐君子处 学数学.他所创的大衍求一术可能就是他总结天文历法计算上元积年的结果。
《数书九章》成书于１２４７年，正值兵荒马乱的年代，是在长期艰苦的环境中写成的。
《数书九章》共十八卷，全书分九类，每类九个问题，共８１题。
第一类为 大衍 ，即 大衍求一术 ，在前文中已详细介绍。
第二类为 天时 ，主要内容为推算古代历法中的上元积年、五星运动以及计算雨量、雪量等方法。《数书九章》卷四 天池测雨 题中的 天池盖 ，是世界上现有记载最早的雨量计。
第三类为 田域 ，计算土地面积。在《数书九章》卷三中求解环形、大圆和小圆三个图形的面积，其中运用了将含有无理数系数的方程化成整系数方程的方法。
第四类为 测望 ，主要涉及勾股重差问题。
第五类为 赋役 ，主要是粟米互易、各种粮食及加工后的换算，卷九中提到复邑修赋术，题目大意为某海滩地冲毁后重新淤成。按肥瘠程度分给新设的六乡，然后按冲毁前的交纳赋税的数字，求这六年应交的夏税、秋税和附加税。这实际上是比例分配问题。
第六类为 钱谷 类，计算粮食转运、仓窑容积等。
第七类为 营建 ，涉及工程施工中的数学问题。
第八类为 卑族 ，主要是关于军事方面设营、布阵、后勤等方面的计算问题。
第九类为 市易 ，主要是关于交易和利息计算等问题。
此外，《数书九章》还反映出秦九韶继承了贾宪的 增乘开方法.书中的开方图 表明了求解高次方程时用算筹进行演算的整个运算过程。他提出了 正负开方术 ，将增乘开方法发展成一种完整的高次方程数值解法，这是中国数学史的重要成就。在西方直到１８１９年英国数学家霍纳才创造了类似的方法，比秦九韶晚５００多年。
２。杨辉及其著作杨辉，南宋末数学家，著有《详解九章算术》十二卷（１２６１年），《日用算法》二卷（１２６２年），《乘除通变本末》三卷（１２７５年），《田亩比例乘除捷法》二卷（１２７５年），《续古摘奇算法》二卷（１２７５年）。
杨辉的著作收录了宋代１８种数学著作的一些问题和算法，诸如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，平阳（今山西临汾）蒋周的《益古集》，鹿泉（今河北获鹿）石信道的《钤经》等等，现在都已失传。
杨辉所著的《详解黄帝九章》，又称《详解九章算法》，全书共十二卷，除了《九章算术》原九卷外，又增加了 图 、 乘除算法 、 纂类 共三卷。可惜的是已有部分流失，仅存 商功 、 均输 、 盈不足 、 方程 、勾股 、 纂类 等。《详解九章算法》的各卷由解题、细草和比类三部分组成。解题是关于《九章算术》原题的校勘和解释，还包括名词解释和对某些问题的评论。细草包括图解和算草（即具体的演算过程）。比类的主要内容是南宋时期比较流行且与《九章算术》原题解法相类似的问题。
在 纂类 中，杨辉还对《九章算术》２６０个问题，按照所运用的数学方法重新进行了分类，这在当时也是一个创举。《详解九章算法》还记载了现已失传的多种数学著作中的一些问题和解法，保存了许多宝贵的宋代数学史料，使我们对当时数学发展有了较多的了解。例如其中记载了贾宪三角形（即二项式定理系数表，贾宪称为 开方作法本源图 ，西方称为帕斯卡三角形），早期的增乘开方法（高次方程数值解法）和垛积术（高阶等差级数求和公式）
等等，都是中国古代数学史上的杰出成就。《详解九章算术》的编著体例对后世教学著作的编写有相当大的影响。
杨辉的《日用算法》可惜已经失传了。据其他文献记载可知，它的主要内容有度量衡换算、丈量土地、仓窖容积、建筑工程等与日常生产和生活密切相关的数学问题。在《日用算法》中还有杨辉编写的 诗括十三首 ，用诗词形式来表达某些数学问题和数学方法，生动活泼，便于学习和记忆。杨辉的这种作法，在中国数学史上是比较早的，后来有了更广泛的运用。
《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》与《续古摘奇算法》合称《杨辉算法》。
杨辉的《乘除通变本末》分为《算法通变本末》、《乘除通变算宝》、《法算用本末》三卷。主要内容包括 单因 、 重因 、 九归 、 加减代乘除 、 求一 等各种筹算乘除捷法。筹算乘除的这些简捷算法，反映了当时简化算术运算的实际需要，后来演变成珠算的歌诀。在《乘除通变本末》卷上《算法通变本末》中，有一个 习算纲目 ，是一份为初学数学者提供的数学教学大纲。它主张由浅到深、循序渐进的学习方法，重视培养学生的计算能力。这是数学教育史上的一篇重要文献。杨辉主张 算无定法 ， 随题用法者提，从法就题者拙 ，这也是应该予以肯定的。杨辉在《田亩比类乘除捷法》一书中运用刘益在《议古根源》中提出的 正负开方术 ，解决各种二次和四次方程的求根问题。杨辉这部著作中还对《五曹算经》等其他一些数学书里的问题和解题，做了实事求是的分析和批评，对后世数学研究产生了良好的影响。
《续古摘奇算法》是杨辉选择各种算书中一些比较有趣的问题编辑而成的，并对各题补作了演算。这部数学著作内容比较庞杂，其中包括各种类型的纵横图、鸡兔同笼问题、百鸡问题，刘徽《海岛算经》中的重差术的证明等等。前文中所列的杨辉的纵横图，现代称为幻方或魔方。把从１到ｎ个自然数，排成纵横为ｎ个数的方阵，使同行、同列与同一对角线上ｎ个数的和都相等。《续古摘奇算法》中列出了ｎ从３到１０的纵横图。它在古代仅是一种精巧数学游戏，到现代才发现它的实际应用价值。
总之，杨辉是一位多产的数学家，他的著作全面地反映了当时中国数学的发展水平及中国古代数学的辉煌成就。
