秦汉科技史之数学体系的形成

数学体系的形成
　　（一）《九章算术》的出现
　　在春秋战国数学发展的基础上，秦汉时期出现了我国古代最早的一批数学专著，见于《汉书？艺文志》著录的《杜忠算术》（１６卷）、《许商算术》（２６卷）两部数学书，早已失传，现在有传本的《九章算术》九卷在《汉书？艺文志》中则没有著录。班固的《汉书？艺文志》是依据刘歆的《七略》写成的，可知《九章算术》的编成在刘歆《七略》之后，在公元５０年前后（汉光武帝时）郑众解释《周礼》 九数 时， 句股 还没有被安排到 九数 内去，说明包含句股章的《九章算术》的编成不会在公元５０年前。另，《后汉书？马援传》说，他的侄孙马续 十六治诗，博观群籍，善《九章算术》.马续是马严之子，马融（公元７９- １６６年）之兄，他的生年约在公元７０年前后，他研究《九章算术》大概是在公元９０年前后。因此，《九章算术》的写成大约是在公元５０年到１００年之间（近人孙文青以为马续就是《九章算术》的编纂者，证据虽不够充分，但这是可能的）。《九章算术》是我国现有传本的古算书中最古老的数学著作。《九章算术》对后世历代数学的发展，影响很大。它的出现，标志着我国古代以算筹为工具，具有自己独特风格的数学体系的形成。
　　经过春秋战国到西汉中期数百年间政治、经济和文化的发展，《九章算术》比较系统地总结和概括了这段时期人们在社会实践中积累的数学成果。
　　这一时期的社会变革和生产发展，给数学提出了不少急需解决的测量和计算的问题：实行按田亩多寡 履亩而税 的政策，就需要测量和计算各种形状的土地面积；合理地摊派税收，就需要进行各种比例分配和摊派的计算；大规模的水利工程、土木工程，需要计算各种形状的体积以及如何合理地使用人力、物力；商业、贸易的发展，需要解决各种按比例核算等问题；愈加准确的天文历法工作，就愈是需要提高计算的精确程度等等。《九章算术》正是由各类问题中，选出２４６个例题，按解题的方法和应用的范围分为九大类，每一大类作为一章，纂集而成的。它所提供的数学解法，当然为生产和科学技术的进一步发展，以及为封建政府计算赋税，摊派徭役等，提供了方便。
　　三国时代的刘徽曾为《九章算术》作过注，他在原序言中说： 周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣。 他认为《九章》是由周公制礼的 九数演进而来的，接下去又说，入汉以后张苍和耿寿昌（二人均以善算著称）等 因旧文之遗残，各称删补，故校其目与古或异，而所论者多近语也.说 周公制礼而有九数 可能是扯得太远，说《九章》是由张苍等人在 旧文 基础上增删而成，可能是真实情况。《九章》的章目都产生过变化，书中文字也和汉代的相近。也就是说《九章算术》一书，是经过长时期由许多人删订增补才最后成书的，它是中国先秦至汉初许多学者共同工作的结晶。经过数学史工作者的努力，大多数人认为《九章算术》大约是在公元一世纪时成书，形成了现传本的样子。
　　（二）《九章算术》内容介绍
　　该书的体例，有时是举出一个或几个问题之后，叙述解决这类问题的解法；有时则是首先叙述一种解法之后，再举出一些例题。不论那一种，都是符合人们认识事物的理论联系实际和由个别到一般或由一般到个别的认识规律的。它的内容可分章简介如下：第一章　方田（共３８个例题）。是讲关于田亩面积的计算方法。包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球形体表面积的计算（后两者的公式为近似公式）方法。在这一章中，还有关于分数的系统叙述，并给出约分、通分、四则运算、求最大公约数等运算法则。
　　第二章　粟米（共４６个例题）。讲的是比例问题，特别是按比例互相交换谷物的问题。因在 粟米 问题里使用比例算法比较广泛，而且最早，故取作章名。
　　第三章　衰（ｃｕｉ，音崔，差也）分（共２０个例题）。 衰 是按比率， 分 是分配，是各种按比例分配的问题。衰分是讲依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配问题。
　　第四章　少广（共２４个例题）。由已知面积和体积，反求一边之长，讲的是开平方和开立方的方法。值得指出的是，用算筹列出几层来进行开平方和开立方的计算，相当于列出一个二次或三次的数字方程，把筹算的位置制发展到新的阶段，即用上下不同的各层表示一个方程的各次项的系数。在此基础上，后来逐渐发展成为具有世界意义的数字高次方程的解法。
　　第五章　商功（共２８个例题）。 商 是估算， 功 是工程量，是有关各种工程（城、垣、沟、堑、渠、仓、窖、窑等等），即关于各种体积的计算。还有按季节不同，劳力情况不同，土质不同来计算巨大的工程所需土方和人工安排的问题等等。
　　第六章　均输（共２８个例题）。是计算如何按人口多少（按正比例）、物价高低、路途远近（按反比例）等条件，合理摊派税收和派出民工等问题，还包括复比例、连比例等比较复杂的比例配分问题。
　　第七章　盈不足（共２０个例题）。其中大多数是对如下一类题目的求解方法： 今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？ 即假设人出八则多三，人出七则不足四，这就是 盈不足 问题。因为这类问题一般都有两次假设，所以在其他国家的一些中世纪数学著作中称之为 双设法 ，这种方法可用来解决各种问题。
　　第八章　方程（共１８个例题）。 方 是列算筹呈方形， 程 是计算多少。 方程 是指把算筹摆成方形来求解一次方程组，其中 方程 的含意和现代方程含意不同。这里的 方程 都是一次联立方程问题（包括有二至六个未知数），解法和现在一般中学代数学课本中的 加减消元法 基本相同。当时，是用算筹摆出方程的各系数。一个方程摆一个竖行，方程组中有几个方程就摆出几行，这也可说是筹算位置制的又一新发展。特别值得指出的是，本章还引入了负数（用红算筹表示正数，黑表示负数；或者以正摆的算筹表示正数，斜摆的表示负数），并且给出了正负数的加减运算法则。
　　第九章　勾股（共２４个例题）。 勾股 ，前称 句股 ，讲的是利用勾股定理 （直角三角形中，夹直角二边的平方和等于斜边平方）进行测量计算 高、深、广、远 的问题。它表明当时测量数学的发达以及测绘地图的水平已达到相当的程度。
　　（三）《九章算术》在数学方面的成就
　　１。算术方面主要有系统的分数运算、各种比例问题、 盈不足 问题等等。
　　《九章算术》是世界上最早对分数运算详加叙述的著作（ 方田 章），它讲述了约分、通分、比较两个分数的大小、分数的加减乘除四则运算等。
　　在求分母、分子的最大公约数时，用了辗转相除（实际是辗转相减）。而巴比伦、古埃及、古希腊的分数，多是限定分子为１的单分数，印度关于分数的论述最早是在公元７世纪方才出现。至于欧洲就更晚了。《九章算术》中的比例问题（ 粟米 、 衰分 、 均输 等章）很是多见，计算赋税和徭役的按比例摊派，按等级分物等，都是和社会实际需要密切相关的，应用十分广泛。在一个比例式中，已知三数即可算出第四数，这在欧洲被称为 三率法. 三率法 在欧洲的出现是比较晚的。 盈不足 算法需要进行两次假说，在中世纪阿拉伯国家的数学著作中，这种算法常被称为 契丹算法 ，说明是由中国传入的。在欧洲早期的著作中，也有人沿用 契丹算法 这一名称。
　　２。代数方面主要有联立一次方程组解法、负数概念的引入和正负数加减法法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等等。
　　关于一次方程组解法，都集中在第八章 方程 之中，这一章共有１８个问题，其中：二元一次方程组：８问；三元一次方程组：６问；四元一次方程组：２问；五元一次方程组：１问；不定方程（６个未知数，可列五个方程）：１问。利用一套完整的消元程序，即可准确无误地得出正确的解答。印度一次方程组解法是在１２世纪初方才出现；而在欧洲则迟至１６世纪。
　　《九章算术》 方程 章，还在人类文明史上第一次引入了负数的概念，并利用正、负数的概念进行计算（只限于加、减）。在这里，是把卖出的数目视为正，把买入的视为负；凡是加入的数目都视为正数，视减掉的为负数。
　　负数概念，在印度，是在７世纪的算术中出现的；而在欧洲，一直到１６-１７世纪方才对负数有比较正确的认识。值得指出的是，在中国古代，负数概念还被应用于天文历法的计算（也只限于加减法，正负数的乘除法运算法则，最早出现在元代朱世杰所著《算学启蒙》之中）。
　　开方和开立方的方法，本应属算术范围，但《九章算术》所载中国古代的开方法却具有代数的意义。　　a和3a实际上也相当于求解x = a2，或是ｘ２＝ａ。在利用算筹开方时，常在最下一层摆一根算筹，相当于摆出未知数的平方ｘ２，或立方ｘ３。整个开方、开立方的过程实际上就是进行代数变换的过程。因此在中国古代，一般二次方程解法被称为 带从开方 ，而三次方程解法则被称为 带从开立方.直到宋元时期发展到可以求解任意高次的方程—— 增乘开方 ，仍是离不开 开方.
　　（四）《九章算术》的意义及影响
　　《九章算术》的内容包括了现代小学算术的大部分和中学数学的一部分内容，即包括了初等数学中算术、代数以及几何的相当大部分的内容，有着辉煌的成就，而且它形成了有自己特点的完整体系。这些特点就是：它重视理论，但不是那种严重脱离实际的理论，而在实际的计算方面具有很高的水平，有着一整套在当时世界上堪称是十分先进的算筹算法，用算筹的不同位置和不同摆法，不仅可以表示任意大的数目，而且可以表示一个方程的各次项系数或是表示一个方程组中各方程的系数，进一步又可以表示正数和负数。在数学命题的叙述方法上，也是从实际的问题出发，而不是从抽象的定义和公理出发。这些特点，使得中国数学在许多重要方面，特别是在解决实际的计算问题方面，远远胜过古希腊的数学体系，但是《九章算术》却缺乏象古希腊《几何原本》那样严密逻辑的几何学和数学思想。对现代数学来讲，精密的计算和严密的证明理论同样都是不可缺少的。《九章算术》作为中国古代数学体系形成的代表作，所显示的在十进制解决实际问题以及在计算技术等方面的显著优点，正都是古希腊数学的欠缺之处。后来，正是中国古代数学的这些内容经过印度和中世纪伊斯兰国家辗转传入欧洲，对文艺复兴前后世界数学的发展，作出了应有的贡献。
　　《九章算术》对中国后世也产生了巨大的影响，它一直是人们学习数学的重要教科书。１６世纪以前的中国数学著作，从成书方式来看，大都沿袭《九章算术》的体例。从实际问题出发，提供数学解决方法的传统承继不断。后世许多著名的数学家都曾对《九章算术》进行注释工作，并在这些注释工作中不断引入新的数学概念和方法，从而推动中国古代数学不断前进。