清朝数学发展

数学
　　（一）西方数学的传入与国人的研究
　　１。对数方法的介绍
　　明代严禁民间研习历法，竟使基本上是为历法计算服务的传统高深数学几成绝学。只有明末欧洲传教士东来，才把世界上较先进的数学知识传入中国，改变了原来数学领域可悲的状态。欧几里得的几何学、算术笔算法及三角学，基本都是在明末传入的。
　　对数的传入是在清初，由波兰传教士穆尼阁和中国学者薛凤祚共同完成的。英国数学家纳白尔（Ｊ。Ｎａｐｉｅｒ，１５５０- １６１７年）于明万历四十二年（１６１４年）发明了对数。１０年后，英国的巴里知（Ｈ。Ｂｒｇｇｓ，１５５６- １６３０年）又研究了常用对数。穆尼阁是于清顺治三年（１６４６年）来到中国的。其后五六年，薛凤祚专至南京，从师穆尼阁，学习西方新法。并协同穆尼阁翻译西方天文历算著作。他所著并刊行于康熙三年（１６６４年）的《历学会通》，除了天文历法以外，还包括数学等多学科的知识。
　　数学部分包括传自穆尼阁的《比例对数表》、《比例四线新表》、《三角算法》和《正弦》。《比例对数表》和《比例四线新表》两书，分别是１- ２００００的常用对数表和三角函数对数表。是为对数方法在中国第一次以书籍形式出现，因而具有重要意义。穆尼阁的传授及薛凤祚的著书介绍，使对数传入我国。
　　此外，尽管《崇祯历书》对三角学作过介绍，但有些地方不够完整。《历学会通》所载《三角算法》介绍的平面三角和球面三角法在完整性方面超过《崇祯历书》。平面三角采用配合对数计算，而球面三角除了《崇祯历书》介绍的正弦、余弦定理外，还有半角公式、半弧公式及德氏比例式等内容。
　　２。梅文鼎的功绩
　　梅文鼎的学术成就除天文学外，还包括数学。其一生有关数学著述甚多，在《梅氏丛书辑要》中，数学著作包括：《笔算》５卷（附《方田通法》、《古算器考》）、《筹算》２卷、《度算释例》２卷、《少广拾遗》１卷、《方程论》６卷、《勾股举隅》１卷、《几何通解》１卷、《平三角举要》５卷、《方圆幂积》１卷、《几何补编》４卷、《弧三角举要》５卷、《环中黍尺》５卷，等等。
　　算术方面。在《笔算》中，梅氏为迁就中国人行文习惯，把西方笔算的横写、横式概改为竖写、竖式。在《筹算》中，梅氏把纳白尔筹由直筹横读改为横筹直读，以适国人读写。在《度算》中，他介绍伽利略的比例规，以算例阐释《崇祯历书》所载《比例规解》，并对其错讹地方予以订正。
　　几何方面。明末传入《几何原本》仅有前６卷，这是由于前６卷属较完整的平面几何，当时欧洲也盛行前６卷本。梅氏受《崇祯历书》中所载《测量全义》、《大测》启发，又对《几何原本》前６卷以外内容进行探究，并取得成就。在《几何补编》中，他研究了开普勒宇宙图景基础的正多面体和球体的互容问题；他订正了《测量全义》正二十面体数据的错误；他受传统灯笼的启发，研究了阿基米德的两种半正多面体，并分别命名 方灯 和 圆灯 ，成为历史上少数研究过此种球体的科学家之一；他不仅引进球体内容等径相切小球问题，还阐明解法和正、半区多面体构造的关系。在《方圆幂积》中，他探讨了球体与圆柱、球台、球扇形的关系，所用一命题已经比较接近旋转体古尔丁定理。
　　三角方面。属于梅氏创造性研究成果，体现在《堑堵测量》和《环中黍尺》两书中。梅氏在书中创造性地利用投影原理来论证球面三角公式，把球面三角的问题转化为平面三角、平面几何问题。梅氏还将传入的三角学系统化和准确化。在《崇祯历书》所载和穆尼阁授给薛凤祚的三角学，有过简、粗糙之不足，梅氏在《平三角举要》、《弧三角举要》二书中，精益求精，循序渐进，讲定义，推定理，导公式，直到算式和举例，均有章可循，易于理解和掌握。
　　３。编撰《数理精蕴》
　　清初西方数学知识继明末后又有所传入，康熙皇帝本人对数学也很感兴趣，并支持科学研究和普及工作。当时有学者陈厚耀（１６４８- １７２２年）建议整理数学知识，康熙给予支持。于是有《数理精蕴》一书的编写，此书由康熙五十二年（１７１３年）开始编写，唐熙六十一年（１７２２年）完成，雍正元年（１７２３年）刊行。
　　这是一部全面介绍明末以来传入的西方数学知识的百科全书。全书分上编５卷、下编４０卷、附表８卷，计１５３卷。上编内容包括《几何原本》（为法国当时通用之本，与徐光启译本有别）及《算法原本》（包括自然数性质、公约数、公倍数、比例、级数等内容）。下编内容有：实用算术、联立一次方程、开平方、开立方、三角形计算、各种长度计算、各种面积和体积计算、三角学及对数等。附表为４种：素因数表、素数表、对数表、三角函数表。
　　该书编成后数次印刷，流传较广，对清代数学的发展和应用产生较大影响。它堪称当时通行的数学教科书。它的全称是《御制数理精蕴》，皇帝的权威和尊严也有助于它扩大影响。
　　该书所采西学，由法国传教士张诚（１６５４- １７０７年）和张晋（１６５６- １７３０年）等人译编，梅瑴成等人加以汇编。
　　４。梅瑴成及其《赤水遗珍》
　　梅瑴成是天文学家，也是数学家。他著有《赤水遗珍》（作为《梅氏丛书辑要》之附录），是为其数学研究成果。法国天主教传教士颜家乐（Ｃ。Ｍａｉｇｒｏｔ，１６５２- １７３０年）于康熙二十年（１６８１年）到中国之后，曾介绍过以恒星高度及时角定地理纬度的方法。梅氏《赤水遗珍》中之 测北极出地简法 篇，对这一方法做了记载，而清末数学家李善兰曾对此方法深入探讨和研究。另外，法国传教士杜德美（Ｐ。Ｊａｒｔｏｕｘ，１６８８- １７２０年）于康熙４０年来华后，曾介绍过三个无穷级数公式。梅氏在书中有 求周径密率捷法 和 求弦矢捷法 两文，对三个公式予以记载，称 西士杜德美法.梅氏记载为清代数学家进行无穷级数研究奠定了基础。
　　５。年希尧的建树
　　年希尧字允恭，广宁（辽宁北镇）人。生于康熙初年，卒于乾隆三年（１７３８年）。其父年遐龄，曾任湖广总督。其兄年羹尧，曾任川陕总督。年希尧曾任工部侍郎、江宁布政使和广东巡抚等职。雍正除异己，年希尧受株连失官。
　　后复出，任过内务府总管、左都御史职。故去前三年，因受弹劾复丢官。
　　年氏兴趣广泛而又勤于笔耕，虽居高官而著述不辍。任江宁布政使时曾面晤梅文鼎，请教数学问题。在工部和内务府任职时，又因结识在清宫任画师的意大利人郎士宁（Ｊ。Ｃａｓｔｉｇｌｉｏｎｎｅ，１６８８- １７６６年），对西方画法和透视学原理产生浓厚兴趣。年氏在数学方面的著作主要有《测算刀圭》、《面体比例便览》及《视学》。
　　《测算刀圭》３卷，论述三角学和三角对数。《面体比例》１卷，论述平面、立体图形的互容及计算。《视学》则为中国第一部透视学专著，也是世界同类书之较早者。
　　《视学》初版于雍正七年（１７２９年）。年氏不甚满意， 苦思力索，补缕五十余图，并为图说以益之.雍正十三年（１７３５年）出版《视学》修订本。
　　《视学》图文并茂，阐述透视原理。介绍了透视学中的基本课题，包括技法方面的量点法和截距法；透视角度方面的平行透视和成角透视；视平线位置方面的仰望透视法，以及轴测图上中心光源阴影的处理等。在图例方面，年氏对一般立体图形均用二视图表示尺寸及形状，再作底面次透视图，决定各特征点之高，最后才把整体透视图画出来。书中所用术语，有的至今沿用不废，如 地平线 、 视平线 等。
　　虽然欧洲文艺复兴时期的画家们都已掌握透视原理，但在１８世纪末叶之前，还未出现过系统的透视学专著。中国画师及工匠们也不过在使用着朴素的透视方面的经验，未予以研究和总结。嘉庆四年（１７９９年），法国数学家蒙日（Ｇ。Ｍｏｎｇｅ，１７４６- １８１８年）出版了《画法几何学》，被人称为画法几何的奠基人，其书也被认为是最早的画法几何专著。年氏之书在理论精深程度上自然逊于蒙日之作，但从图学范畴来说，蒙日都属后来者。
　　６。明安图的成果
　　明安图在数学领域有很深造诣，于三角函数和反三角函数的幂级数展开式问题进行过卓有成效的研究。著有《割圆密率捷法》专著。
　　杜德美参加康熙年间大地测量时，曾向中国学者介绍了一个圆周率解析表达式和两个三角幂级数展开式。但他只介绍算式而于理不详。时人称为杜氏三术，亦即周经密率捷法。明安图在钦天监工作之余，从事３个幂级数证法的研究，历时３０年终成初稿。病危之际，嘱其子明新和学生陈际新一定要完成未竟事业： 此割圆密率捷法也。内圆径求周，弧背求弦，求矢三法，本泰西杜德美氏所著，实古今所未有也，亟欲公诸同志，惜仅有其法而未详其义，恐人而有金针不度之疑。予积解有年，未能卒业。汝与同学者务续成之，则予志也.陈际新、张肱及明新不负遗愿，于乾隆３９年（１７７４年）
　　整理成书。可惜书稿迟未刊行，有人看过原稿抄本，不明真相，竟以 杜氏九术 名之。直至道光十九年（１８３９年）明安图之书才刊行于世，人们才知道明安图的杰出贡献。
　　明安图在《割圆密率捷法》中，除证明了杜氏三术，还发现了６个幂级数展开式，这６个公式即为 弧背求通弦 、 弧背求矢 、 通弦求弧背 、 正弦求弧背 、 正矢求弧背 及 矢求弧背.清代无穷数极研究领域之所以不断涌现人才，不断有成果问世，无疑得利于明安图开拓性研究。
　　７。董祐诚、项名达及戴煦的贡献
　　继明安图在幂级数方面取得研究成果后，清代学者在此领域中又有进展，其代表人物有董祐诚、项名达和戴煦等人。
　　董祐诚（１７９１- １８２３年），字方立，江苏常州人。少时家道中衰，生活困窘。嘉庆二十二年（１８１７年）随兄客居北京前，曾广游天下，兴趣及至经史、地理学及数学等方面。居北京后，专攻数学，且著作不少，有《割圆连比例图解》３卷、《椭圆求周术》１卷、《斜弧三边求角补术》１卷、《堆垛求积术》１卷。去世后，其兄董基诚汇其遗稿，以《董方立遗书》之名刊刻出版。
　　董祐诚少年时于梅瑴成《赤水遗珍》书中读到杜氏三术，但惜其语焉不详。后由友人处抄得载有杜氏三术和明安图六术的所谓 杜氏九术全本 ，乃深入探究，务求 立法之原 ，乃成《割圆连比例图解》３卷这一董氏之代表作。他从成连比例的几何线段入手，研究全弧通弦和分弧通弦二者的关系，结果也发现全弧正矢和分弧正矢之间关系，并明确给出４个幂级数展开式，即所谓 立法之原 四术，可推出所谓 杜氏九术.董祐诚《割圆连比例图解》著成后，方得见明安图遗书抄本，由是始知两人方法相同而具体步骤有异。董氏还在研究中发现，分割次数无限增多，则弧与弧可相互转化。他把这种现象称为 方圆互通.他的见解相当于微积分。
　　项名达（１７８９- １８５０年），原名万准，字步莱，号梅侣，浙江钱塘（今杭州）人。自幼喜读书，尤好历算之学。道光进士，惟未就知县之职，曾在杭州紫阳书院执教，主要数学著作有《象数一原》６卷、《勾股六术》１卷、《三角和较术》１卷、《开诸乘方捷术》１卷。其中《象数一原》为其代表作。
　　项氏对 方圆互通 兴趣甚浓，乃在前人基础上深入研究，创 零整分递加 法。此法即把全弧不拘分为奇数等份或偶数等份，通弦或正矢均可以示为分弧的通弦或正矢的幂级数。于此，董祐诚的四术概括为二术，得出计算正弦值和正矢值的两个公式。由此 二术 ，可推出 四术 ，亦可推衍出所谓 杜氏九术.项氏在董祐诚对椭圆周长的研究基础上作出了可喜的成就。董氏以初等数学方法进行推导，但结果错误。项氏写有《椭圆求周术》一书，具体阐释求周长之法：将椭圆周分成若干等份，通过分点向长、短轴作垂线，连结两分点以之为椭圆分弧弦。以勾股定理和椭圆性质求分弧之弦长。分点无限增多之时，椭圆周长即等于分弧之弦的总和。项氏之法类似积分之法。
　　戴煦（１８０５- １８６０年），字鄂士，号鹤墅，又号仲乙，浙江钱塘（今杭州）人。著有《重差图说》、《勾股和较集成》、《四元玉鉴细草》，惜未刊行；刊印之书为《求表捷法》，内收《对数简法》２卷、《续对数简法》１卷、《外切密率》４卷、《假数测圆》２卷等书。戴氏还曾在好友项名达去世后续成其《象数一原》。
　　戴氏之前研究幂级数，在通弦、正矢与弧间展开式研究较多。戴氏曾与项明达共同切磋正切、余切、正割、余割表示弧幂级数展开式，也研究以弧表示正切、余切、正割、余割幂级数展开式。项氏去世后，戴氏仍继续研究，终成《外切密率》一书。书中戴氏所创上述关系式，系用几何方法推导出来的，但准确无误，与今天推导结果不谋而合。以戴氏研究成果为标志， 方圆互通 的研究打上了阶段性的休止符。
　　戴氏于对数研究上也有成就。在他的《对数简法》、《续对数简法》二部著作中，首创指数为任意有理数的二项式展开式，探索出编造对数表的简易方法。
　　８。数学仪器的引进与改进
　　康熙皇帝在位期间，还很重视引进外国先进的数学仪器。这些仪器进入中国后，一般在功能上得到了进一步的改进。
　　康熙曾命令引进帕斯卡计算器和纳皮尔的算筹，并令人加以仿制。故宫中珍藏有１０台计算器，据考证当为康熙晚年间制造，是为仿造并加以改进。
　　考史，１７世纪４０年代和７０年代，法国数学家帕斯卡（Ｂ。Ｐａｓｃａｌ，１６２３- １６６２年）和德国数学家莱布尼茨分别发明了计算器。但前一种计算器仅可作加减法运算，且只能计算６位数；后一种计算器仅可用作加、乘法运算。故宫所藏计算器，可进行多达１２位数的计算；有的适用加减乘除四则运算，有的还可进行平方、开方运算。显然，故宫计算器当为引进计算器的改进型。
　　《数理精蕴》中记载了我国使用对数计算尺。该书载有４种尺度：假数尺（对数尺）、正弦假数尺、切线假数尺、割线假数尺，也介绍了尺度的画法与用法。对数计算尺为英人甘特（Ｅ。Ｇｕｎ－ｔｅｒ，１５８１- １６２６年）发明于１７世纪２０年代。故宫珍藏有铜制、象牙制许多计算尺，有的还标有 康熙御制 字样。显然系当年仿甘特计算尺制造而成。
　　伽利略比例规传入中国后，在康熙年间也有发展。故宫珍藏许多铜、银及象牙制比例规，比例线条或三五种，或十余种。故宫中还有铜、银制量角器。有些比例规和量角器刻有 康熙御制.
　　（二）传统数学的挖掘与研究
　　１。古算书的收集
　　清政府组织人马编写大型丛书《古今图书集成》和《四库全书》的过程，就是引人入故纸堆的过程，就是销毁不利于满清统治书籍的过程，同时也为收集有价值的数学典籍创造了条件，并为传统数学乃至西方数学的研究奠定了一定基础。
　　《古今图书集成》中所收古算书无多。与此形成鲜明对照，《四库全书》在收集几近失传的古算书方面成绩斐然。
　　从《永乐大典》中辑录出来的古算书计有：《周髀算经》２卷、《九章算术》９卷、《孙子算经》３卷、《海岛算经》１卷、《五曹算经》５卷、《夏侯阳算经》３卷、《五经算术》２卷、《数学九章》９卷、《益古演段》３卷、《数术记遗》１卷、《张邱建算经》３卷、《缉古算经》１卷、《测圆海镜》１２卷，总计为１３部。此外，《四库全书》还辑录了《表图说》１卷、《圆容较义》１卷、《几何原本》６卷及《同文算指》前编２卷和通编８卷等４部明代算书。
　　《四库全书》的收集也有遗漏，故后人对古算书的挖掘并未间断。阮元买到元代朱世杰《四元玉鉴》，乃以亲手所抄本交付刊印，使《四元玉鉴》又有流传。罗士琳（１７７４- １８５３年）在朱世杰《算学启蒙》已失传于国内情况下，竟至得到朝鲜重刊本，才使此书在国内复有流传。鲍廷博（１７２８- １８１４年）在嘉庆十九年（１８１４年）刊印出版《知不足斋丛书》第２７集时，把３部宋元数学残本《续古摘奇算法》、《透廉细草》、《丁巨细草》辑入。道光二十年（１８４０年）郁松年刊印《宜稼堂丛书》，内收《数学九章》１８卷、《详解九章算法附纂类》１２卷、《杨辉算法》７卷。
　　２。古算的整理与研究
　　戴震、李潢（？- １８１１年）等人在编撰《四库全书》过程中，具体负责其中天文算法的校勘工作。他们为此作出了一定的贡献。
　　戴震校勘了《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》及《缉古算经》等古算书，改正了许多误文、奇字及传讹。这方面他的功绩是不小的。如他考证出《周髀算经》中部分内容并非周六艺之遗文；考证出《孙子算经》非孙武子之作，等等。尤其《永乐大典》中的《九章算术》舛误很多，附图也失，而正是戴震以其深厚的古算功力，予以校勘、注释和补图，才使中国古代最重要的数学名著得以恢复原貌，再现光彩。当然，戴震也难免有误校之处，把不错之字改掉，造成后世一些读者的误会。
　　李潢，字云门，湖北钟祥人。他负责在戴震校过的基础上，校勘《九章算术》、《海岛算经》、《缉古算经》三书。他对戴震误校之处，一般都能予以改正，使校文更接近真实，但他亦有不少误校、漏校的地方，有的地方干脆避而不校。他撰有《九章算术细草图说》９卷、《海岛算经细草图说》１卷、《缉古算经考注》２卷。
　　此外，沈钦裴（字侠侯，江苏苏州人）曾于道光九年（１８２９年）编撰《四元玉鉴细草》，虽未刊行，但因其观点新颖，见解精辟，在消去法及垛积术的解释方面更接近朱世杰本意，故学术意义较大。扬州人罗士琳（字次璆，号茗香，约１７８５- １８５３年），曾撰有《比例汇通》４卷、《四元玉鉴细草》２４卷、《勾股容三事拾遗》、《演元九式》、《台锥演积》、《三角和较算例》、《弧矢算术补》、《续畴人传》等著作，其中《四元玉鉴细草》影响大，流传广。
　　焦循的《加减乘除释》也较有影响。焦循（１７６３- １８２０年），字理堂，号里堂，江苏扬州人，为经学家兼数学家。他对《九章算术》及刘徽注文进行探讨，指出《九章算术》和刘徽注文不外乎加减乘除： 盖《九章》不能尽加减乘除之用，而加减乘除可以通《九章》之穷。 他于嘉庆三年（１７９８年）撰成《加减乘除释》８卷，用来解释《九章算术》，明确给出基本运算律，是为中国正式给出运算律之第一部书，功不可没。此外，他还撰有《天元一释》２卷、《释椭》１卷、《释轮》２卷、《释弧》３卷、《大衍求一术》１卷、《开方通释》１卷、《乘方释例》５卷等数学著作。
　　汪莱对球面三角形的解法及方程理论有独创。汪莱（１７６８- １８１３年），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人。博览群书，尤好数学，与焦循、李锐交好。
　　嘉庆十年（１８０５年）时，３人恰都在扬州，终日切磋学问，人称 谈天三友 ，所撰数学专著为《衡斋算学》７册。《衡斋遗书》９卷中迹有数学研究文章。
　　《衡斋算学》第一册讨论球面三角形的解法。第二册阐述勾股形已知面积及勾弦和求各数之法。第三册讨论在已知全弧通弦情况下求１／５弧通弦之法。第四册的前半部分仍讨论球面三球形解法，后半部分讨论《递兼数理》。
　　第五册讨论二次方程、三次方程正极个数。第六册讨论在已知全弦通弦条件下解求１／３通弦之法。第七册专论方程有无正根的条件与解法。
　　汪氏对球面三角形的解法和方程理论的研究工作是有成绩的，而在方程论方面的贡献更是主要的。另外，在第四册的《递兼数理》中，所论排列、组合的概念及排列数和组合数的计算法；在《衡斋遗书》中之《参两算经》篇中所论二进制、三进制乃至九进制的概念与算法，均为中国数学中首次讨论的问题。开拓性研究成果于此可见。
　　李锐在数学领域的贡献并不逊色于在天文历法领域的成就。他的数学著作共４种：《勾股算术细草》１卷、《方程新术草》１卷、《弧矢算术细草》１卷、《开方说》３卷。此外，李锐还撰《测圆海镜细草》，是为在四库馆员校订基础上，对李治《测圆海镜》重加详细校算订正之作，收在《知不足斋丛书》第二十集中。
　　李氏的《开方说》是他数学研究的代表作，是中国方程理论专著。在对李治、秦九韶等宋元数学家著作的整理过程中，李氏对方程论产生兴趣，而汪莱对方程正根个数的讨论，又推动了他深入研究。应该说，汪莱《衡斋算学》第五册和第七册是《开方说》形成的基础。李氏在方程论方面的贡献包括：第一，总结出数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列变化数或比此数少２，等于提出了方程正根个数判定的符号法则；第二，把正根以外适合方程之解称为 无数 ，明确提出 凡无数必两，无一无数者 ；第三，讨论了整数范围内二次方程与双二次方程无实根的判别条件；第四，引入负根和重根概念；第五，对于宋元时期方程变形法如倍根、缩根、减根、负根等变换，予以充实和完善；第六，首创代开法 ，即先求一根首位，继由变形方程求余位数字乃至余根。
　　李锐的成就在《续畴人传》中受到很高的评价。罗士琳评价 谈天三友 ，称汪莱 期于引申古人所未言，故所论多创，创则或失于执 ；称焦循 期于阐发古人所已言，故所论多因，因则或失于平 ；惟李锐 兼二子之长，不执不平，于实事中匪特求是，尤复求精，此所以较胜于二子也.
　　（三）晚清近代数学的产生与发展
　　１。李善兰的突出贡献
　　晚清近代数学在中国的出现、发展，李善兰为之做出了突出的贡献。具体表现为：把传统数学独立研究到新的水平，已经接近达到西方高等数学的程度；翻译介绍西方高等数学及其它自然科学书籍；执教于学校，培养数学人才。
　　李善兰（１８１１- １８８２年），原名心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔，浙江海宁人。出身于书香门第，先祖本在河南，元初迁居海宁。李善兰幼读书于私塾，勤奋好学，更兼天资聪颖，故早期教育较佳。
　　李善兰对数学从小就非常喜好。还在９岁孩提之时，一日偶然发现父亲书架放有中国古代数学名著《九章算术》，翻来觉得有趣，竟从此与数学结下不解之缘。及至１４岁，他完全凭自学读通明末传入的欧几里得《几何原本》前６卷的汉译本。中西数学，特点、风格不同，前者偏重实用解法和计算技巧，后者重逻辑推理。显然，李善兰走入数学殿堂之初，就同时受到中西数学的双重影响，为后来的发展打下了良好基础。
　　青年时，他曾以州县生员身份赴省城杭州参加乡试，但因八股文章不遂考官之意而未能榜上有名。然他仍矢志不移，于数学兴趣不减。他购读李治《测圆海镜》及戴震《勾股割圆记》。曾拜吴兆圻为老师，学习数学。他在家乡经常独自或携友测山高，观星象，以至于至今故里仍流传关于他新婚之夜尚不忘依阁楼之窗观测星宿的美谈佳话。
　　浙江沿海曾是鸦片战争的主要战场。清军在战场上一触即溃，甚至望风而逃，使李善兰痛感中国积弱落后，决意科技救国，乃于道光二十五年前后（１８４５年）在嘉兴设馆授徒，并进行数学研究。咸丰元年（１８５１年），李善兰结识戴煦，取长补短，相得益彰。他与数学家罗士琳、徐有壬（１８００- １８６０年，曾任江苏巡抚，太平军破苏州城，被杀）也有学术交往。
　　咸丰二年（１８５２年），李善兰到上海墨海书馆，伟烈亚力（Ａ。　Ｗｙｌｉｅ，１８１５- １８８７年）对他的数学著作非常赞赏。之后数年，他与外国人合作翻译了许多极有价值的科技书籍。
　　咸丰十年（１８６０年），李善兰为徐有壬幕僚。自次年直至逝世，他以学识和声望受聘参与洋务运动。先在安庆内军械所主书局，几年后至南京。其间力主刊刻出版所译、所著书籍，得到曾国藩和李鸿章的资助。同治七年（１８６８年）任同文馆天文算学总教习。任上培养众多人才，并继续从事学术著述活动。到同文馆后，先后被清廷授多种职衔：钦赐中书科中书，从七品卿衔；加内阁侍读衔；升户部主事，加六品卿员外衔；升员外郎，五品卿衔；加四品卿衔；三品卿衔户部正郎、广东司行走、总理各国事务衙门章京。李善兰没有功名，得此殊荣，正从一个侧面反映出他的贡献之大、学术地位之高。京城 名公巨卿，皆折节与之交，声誉益噪.李善兰数学著述很多，包括《方圆阐幽》１卷、《弧矢启秘》２卷、《对数探源》２卷、《垛积比类》４卷、《四元解》２卷、《麟德术解》３卷、《椭圆正术解》２卷、《椭圆新术》１卷、《椭圆拾遗》３卷、《火器真诀》１卷、《尖锥变法解》１卷、《级数回求》１卷、《天算或问》１卷，收入同治六年（１８６７年）刊行的《则古昔斋算学》，计１３种２４卷；《考数根法》，发表于同治十二年（１８７３年）的《中西闻见录》第一、第三和第四号上。此外，尚有《测圆海镜解》、《测圆海镜图表》、《九容图表》、《粟布演草》、《同文馆算学课艺》、《同文馆珠算金鍼》等。
　　李善兰的主要数学成就为尖锥术、垛积术、素数论三方面。
　　尖锥术是在西方近代数学传入中国之前，李善兰深入钻研，大胆求索所发明、创造的。在这项成就中，体现了解析几何的启蒙思想，推得一些重要的积分公式，创立二次平方根的幂级数展开式，以及各种三角函数、反三角函数、对数函数的幂级数展开式。尖锥术不愧是晚清中国数学界最大的成就。正是这一成就，使李善兰成为中国传统数学最后一个杰出代表。
　　《方圆阐幽》专论尖锥术。书中，李善兰使用 当知 来论述尖锥术原理。 当知 即命题，有的相当于定理。李善兰共使用１０条 当知.第１条至第３条用以阐释点、线、面、体之间的关系；第４条阐释一数正整数幂用平面积或线段表示均可；第５条阐释尖锥形包括等腰三角形、直角三角形、正四棱锥及阳马等；第６条阐释一数四次幂以上可表示为底为方形之尖锥，但侧面是凹形而非平面；后３条类似积分学的几个公式。他以尖锥术在《弧矢启秘》和《对数探源》二书中，分别证明了正弦、正切、正割的幂级数展开式；论证对数的幂级数展开式，阐释了对数的计算原理。
　　李善兰的研究表明，即便没有后来西方微积分的传入，中国数学家完全可以通过自己的特殊途径来创立微积分。
　　垛积术见于《垛积比类》书中。主要研究 有高求积术 和 有积求高术.该书不仅有法，而且有其他书所没有的图与表。有高求积是已知层数来求这一行的各数之和，但需找出这一行的求和公式。有积求高是在已知这一行各数之和条件下求得层数，通过解高次方程来解决。书中除三角垛和三角变垛包含有元代朱世杰落一形和岚峰形两类垛外，又创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，给出求和公式，其中三角自乘垛的中心，是被称为 李善兰恒等式 的组合公式，后在中外均很有名。
　　该书堪称组合数学产生前，属于该领域的一部有影响的佳作。
　　素数论见于所著《考素根法》。数根即素数，素数概念初始引入中国，是在《数理精蕴》之中，以 数根 名之。考数根法就是判别一个自然数是否为素数的方法。李善兰经过深入研究，得到４种方法，即 屡称求一 法、 天元求一 法、 小数回环 法、 准根分级 法。李善兰还证明了数学家费尔玛（Ｐｉｅｒｒｅ　　ｄｅ　　Ｆｅｒｍａｔ，１６０１- １６６５年）提出的费尔玛小定理，并指出它的逆定理不真。《考数根法》是中国第一部系统性素数理论著作，也是一部高水平著作。
　　李善兰是中国近代数学的开拓者。这主要表现在他在１９世纪５０年代，与伟烈亚力合译３部数学著作。这些著作对于西方近代数学在中国传播起到了深远的影响。这些著作是：《几何原本》后９卷。《几何原本》为古希腊欧几里得原著。前６卷为明末徐光启和利玛窦合译并刊行。后９卷由李善兰与伟烈亚力合译，所据底本为顺治十七年（１６６０年）版英文本，咸丰七年（１８５７年）出版。李善兰作序称此举为 续徐、利二公未完之业.后又在曾国藩（１８１１- １８７２年）
　　资助下，于同治四年（１８６５年）由金陵书局出版１５卷足本《几何原本》。
　　《代数学》１３卷。这是西方符号代数学产生以来的第一部关于代数学的中文译本，原著是英国数学家德？摩尔根（Ａ。ＤｅＭｏｒｇａｎ，１８０６- １８７１年）在道光十五年（１８３５年）所撰。李善兰与伟烈亚力合译，由上海墨海书馆在咸丰９年（１８５９年）出版。
　　《代微积拾级》１８卷。底本为美国数学家罗密士（Ｅ。ｌｏｏｍｉｓ，１８１１- １８９９年）在道光三十年（１８５０年）所著。李善兰与伟烈亚力合译，上海墨海书馆咸丰九年（１８５９年）出版。该书前９卷是平面解析几何；１０至１６卷是微分学；后２卷是积分学。是书出版，表明解析几何学、微积分学正式传入中国。
　　从此中国开始有了高等数学。
　　李善兰译书之际，没有先例可资借鉴，故许多概念、名词如何给定，是很费斟酌的。李善兰以深厚的数学功力、较高的文字修养，以及严肃认真的态度，创译了许多科学名词，如代数、函数、常数、变数、系数、已知数、未知数、方程式、单项式、多项式、原点、轴、圆锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、摆线、蚌线、螺线、无穷、极限、曲率、歧点、微分、积分等。由于译名准确、贴切，不仅为中国接受并沿用至今，而且东渡扶桑，为日本学界所接受和使用。
　　在李善兰的数学译著中，也部分地采用了世界上普遍运用的符号，如＞、＜、＝、（）等。但有一些他并未与世界通用者一致，如未知数，他以天、地、人、物表示，而未用Ｘ、Ｙ、Ｚ等；他用中国数字，而不用通行的阿拉伯数字等等。这是形式上的不足之处。
　　李善兰在京师同文馆进行数学教研工作达１４年。他教过的学生已逾百人。他对教学兢兢业业， 口讲指画，十余年如一日.受业于他的学生有的去外省为官，有的为清政府委派出洋，声名较著者有席淦、贵荣、熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春诸人。培养人才之情伴他一生，以至晚年获得意弟子江槐庭、蔡锡勇，还特意给华蘅芳写信相告： 近日之事可喜者，无过于此.育才、爱才之心，跃然纸上。
　　２。华蘅芳的成就
　　华蘅芳（１８３３- １９０２年），江苏金匮（今无锡）人。字畹香，号若汀。
　　其父曾任江西永新县知县。华蘅芳虽禀赋很高，但自幼不喜四书五经，厌八股文章， 读《大学》章句，日不过四行，非百遍不能背诵 ， 从师习时文，竟日仅作一讲，师阅之，涂抹殆尽.显然，华蘅芳别有所好。他在旧书堆中发现古算书，如获至宝，终日捧读，无师自通。他的这种天生对数学的兴趣，再加上他父亲有意识地给他买古算书引导，为他日后在数学领域作出非凡成就创造了必要条件。
　　师友的指点，对他的发展作用尤大。他在自学数学的同时，还广求师友。
　　他曾慕名拜访素昧平生的徐寿，皆因徐寿精于科技发明创造。他还专程去上海，拜访正在翻译西方科技书籍的李善兰。在上海，他还见到了中国近代最早出国留学并归来效力的容闳（１８２８- １９１２年），结识了传教士伟烈亚力和傅兰雅（Ｊ。Ｆｒｙ－ｅｒ，１８３９- １９２８年）等人。这些交往，大大开阔了眼界，并汲取了新的学术营养。
　　洋务运动开始后，华蘅芳怀着科技救国、实业救国的信念，热情投身于这场求富、求强的社会变革中。先在曾国藩创办的安庆内军械所工作。他还参与创办江南制造局。他从同治六年（１８６７年）起与外国人合译西方科技书籍，次年起在江南制造局翻译馆专事译书工作。他曾主讲上海格致书院。光绪十三年（１８８７年）他到李鸿章所创办的天津武备学堂担任教习。光绪十八年（１８９２年）又去武昌主讲两湖书院的数学课程。及至６５岁高龄，他仍热心教育，在无锡竢实学堂执教。他与李善兰一样，都是晚清中国数学领域最著名的科学家、翻译家和教育家。
　　华蘅芳的数学著作主要有《学算笔谈》１２卷、《算草丛存》４卷、《开方别术》１卷、《数根术解》１卷、《开方古义》２卷、《积较术》３卷，均收入《行素轩算稿》。除此之外，还有《算法须知》１卷、《西算初阶》１卷。其数学成就主要为开方术、积较术和数根术三个领域。
　　开方术成就见于《开方别术》等著作之中。他提出了推求整系数高次方程的整数根的新方法即 数根开方法.其法被李善兰评价为独开生面， 较旧法简易十倍.但不足之处在于方程的无理数根不能求出。
　　积较术成就见于《积较术》等书中。分别定义了两种计数函数，给出一组乘方乘垛互反公式和几个组合恒等式。数根术成就主要见于《数根术解》书中，他指出了相当于今天 筛法 的求素数法。他阐明：自然数位数增加，素数间隔也愈稀，然素数之个数却是无穷尽的。他也证明了费尔玛小定理，但却没能指出其逆定理不真。总体看来，在中国传统数学研究成就上，华蘅芳还是排在李善兰之后的。
　　华蘅芳在翻译西方数学书籍，传播先进的数学知识方面，可以说与李善兰各有千秋。华蘅芳与英国人傅兰雅合作，共译出数学书籍７种、８９卷。具体情况如下。
　　《代数术》２５卷。原著英国人华莱士（Ｗａｌｌａｃｅ），原载《大英百科全书》第八版，咸丰三年（１８５３年）出版。同治十一年（１８７２年）由江南制造局出版。内容包括：代数，对数、指数的幂级展开式，三角关系式，反三角幂级数展开式，几何问题的代数解法，棣模弗公式等。
　　《微积溯源》８卷。原著英人华莱士（Ｗａｌｌａｃｅ），原载《大英百科全书》第八版，咸丰三年（１８５３年）出版。同治十三年（１８７４年）翻译出版。较李善兰所译《代微积拾级》水平高，内容多，涉及微分方程问题。
　　《三角数理》１２卷。原著为英人Ｊ？海麻士（Ｈｙｍｅｒｓ）咸丰八年（１８５８年）所撰。光绪四年（１８７８年）翻译出版。是较系统、完整的三角学著作。
　　《代数难题解法》１６卷。原著为英人Ｔ？伦德（Ｌｕｎｄ）光绪四年（１８７８年）所撰。次年即在中国译成出版。
　　《决疑数学》１０卷。原著一为英人Ｔ？加洛韦（Ｇａｌｌｏｗａｙ）所撰，载于《大英百科全书》第八版，咸丰三年（１８５３年）出版；二为英人Ｒ？Ｅ？安德森（Ａｎｄｅｒｓｏｎ）所撰，载于《钱伯斯百科全书》新版，咸丰十年（１８６０年）
　　出版。中译本光绪六年（１８８０年）出版。是书为编译之作。书中细述西方概率论史，介绍了有关人口估测、人寿保险、预求定案准确率，以及医疗、邮政领域统计平均数的方法。书中论述了概率理论、斯特林公式、正态分布及正态曲线等。这是传入中国的第一部，也是较完整的一部概率论著作。
　　《合数术》１１卷。原著为美国人Ｏ？白尔尼（Ｂｙｒｎｅ）所撰，同治二年（１８６３年）出版。中译本光绪十四年（１８８８年）出版。介绍对数表造法。
　　《算式别解》１４卷，原著为美国人Ｅ？Ｊ？休斯顿（Ｈｏｕｓｔｏｎ）和Ａ？Ｅ？肯内利（ｋｅｎｎｅｌｌｙ）合撰，光绪二十四年（１８９８年）出版。次年中译本出版。
　　除上述７种出版者外，还译出《相等算式理解》、《配算算法》，惜未出版。
　　华蘅芳所译数学书籍，知识容量方面远远超过李善兰所译之书；又因所用底本较新，出版较快，故时效性也在李善兰书之上。此外，他译各书，文笔流畅易懂，有助于发挥出书的科学价值。当然，这与李善兰译著在先，可资借鉴不无关系。
　　３。其他渠道对近代数学的传播
　　徐建寅（１８４５- １９０１年）与傅兰雅合译《远规约指》３卷。属初等实用几何学内容，原著者为英人白起德。译著同治九年（１８７０年）由江南制造局出版，有图１３６幅。
　　英国传教士伟烈亚力早在咸丰三年（１８５３年）就用中文写成《数学启蒙》一书。光绪八年（１８８２年）创设于上海的教会学校中西书院的８年学制中，有关数学的课程安排为：第三年开数学启蒙课；第四年开代数学；第五年开勾股法则、平三角、弧三角；第六年开微分、积分。山东教会学校登州文会馆的学制分备斋３年、正斋６年，计９年。有关数学课程其正斋第一年开代数备旨；第二年开圆椎曲线；第六年开微积分学。
　　洋务运动期间兴办各类学堂，均开有数学课程。京师同文馆八年制数学课程为：第四年开数理启蒙、代数学；第五年开几何原本、平三角、弧三角；第６年开微分积分。其他学堂如张之洞开办的自强学堂、江南制造局所属江南工艺学堂，以及北洋水师学堂等军事学堂，均设数学课程。盛宣怀在光绪二十一年（１８９５年）创办的中西学堂（盛氏本人称为北洋大学堂），按大学标准设立，公共必修课中即有数学。
　　清末新政中，广设新学堂，数学教育趋于正规化。更多的中国学生接受了西方数学教育。
　　洋务运动时期派遣幼童赴美留学，虽然学业未了即受遣返国，但也接触和学习到了包括数学在内的西方自然科学。马尾船政局设船政学堂，在１９世纪七八十年代先后派出３批本堂学生到英国、法国及德国进修深造。绝大多数人学习驾驶、制造，必涉数学的学习，且其中还专有学习兵船、算学等学。及至清末新政，出国留学生日多，其中有些人在国外大学专攻数学，如郑之藩（１８８７- １９６３年）即在光绪末年去美国学习，辛亥革命前回国从事数学教育。其他学习工程、铁路、航运等专业的留学生，也受到系统高等数学教育。
　　翻译西方数学书籍的除前述李善兰、华蘅芳等人，２０世纪初留日学生中也有人进行这方面的工作。他们就近将日本人撰写的西方数学书籍翻译过来，介绍给国人。范迪吉等人翻译的百册《普通百科全书》中的数学书有：《数理问答》、《初等算术新书》、《初等代数学新书》及《新撰三角法》等。
　　另外，翻译过来的数学书还有：美国人狄考文（Ｃａｌｖｉｎ　　Ｗｉｌ－ｓｏｎＭａｔｅｅｒ，１８３６- １９０８年）与邹立文合编的《笔算数学》３册，狄考文与邹立文合译的《代数备旨》１３卷，美国人鲁米斯著、狄考文与邹立文等合译的《形学备旨》１０卷，谢洪赍与美国人潘慎文（Ａ？Ｐ？Ｐａｒｋｅｒ，１８５０- １９２４年）
　　及鲁米斯普摘译的《代形合参》３卷、《八线备旨》４卷。其他一些译著：《心算初学》、《西算启蒙》、《心算启蒙》、《数学启蒙》、《圆锥曲线》、《量法须知》、《代数须知》、《三角须知》、《微积须知》、《曲线须知》、《最新三角术》、《最新几何学》及《最新代数学》等。
　　晚清数学教材基本上都是译著，李善兰和华蘅芳的译书多在大学中使用；其他译著一般在中学或小学使用。
　　晚清西方数学著作大量翻译出版，各类学校对近代数学课程的设置，以及留学生在国外的学习与深造，使西方数学得到了空前的传播，有关人才不断涌现。但因当时主要处于传播阶段，故传入后对数学本身的研究基本无进展。