隋唐五代科技史之隋唐五代的数学

隋唐五代的数学
　　隋唐五代时期，由于社会相对稳定，经济日趋繁荣，农业、手工业和商业的长足发展，加之编制新的历法，开筑大运河和城市大规模建设等的需要，促进了这一时期数学的发展。出现了王孝通的《缉古算经》这样有成就的著作和刘焯、僧一行等人在天文历法计算方面的突破。另外在数学教育的开展、数学知识的普及和计算技术的改进等方面也比前代有明显的进步，这些为后来宋、元时期的数学大发展奠定了基础。
　　（一）数学教育的开展和 十部算经 的注释
　　隋统一中国后，结束了南北分裂的局面，经济出现了繁荣景象，国家开始大规模的经济建设。经济的发展，引起了国家对数学教育的重视。隋代在国子监中设置算学，置博士２人，助教２人，学生８０人，开展数学教育。并在科举考试中设立了明算科。由国家创办数学教育，这在我国历史上还是第一次。唐朝建立后，继承隋朝制度。据《贞观政要》记载： 贞观二年（公元６２８年）大收天下儒士 ， 书算各置博士学生，以备众艺.显庆元年（公元６５６年），唐在国子监设置算学馆，计有 博士２人，助教１人，学生３０人。 据《唐六典》记载，由算学博士 掌教文武官八品以及庶人之子为生者.主要学习 十部算经. 习《九章》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经算》十有五人，习《缀术》、《缉古》十有五人， 并兼习《数术记遗》和《三等算》。学习期限规定： 《孙子》、《五曹》共限一年业成，《九章》、《海岛》共三年，《张邱建》、《夏侯阳》各一年，《周髀》、《五经算》共一年，《缀术》四年，《辑古》三年.考试也分科举行，计《九章》三帖，《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经》等七部各一帖，谓之一组。又一组为《缀术》七帖，《缉古》三帖。显庆三年（公元６５８年），高宗李治 诏以书、算、明经，事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废 （《唐会典》卷６５）。废算学馆并把博士以下人员并入太史局。至龙朔二年（公元６６２年）在国子监重设算学。另外唐在地方还设有都督府、州、县学，并允许私人办学，各种学校除必学儒学经典外，还学习各种专业。唐中叶，国子监有学生８０００多人，地方州县学生达６００００多人，均有算学课程设置，可见唐代数学教育的兴盛情况。
　　在国家重视教育的同时，隋唐政府还十分重视对图书典籍的整理工作，曾先后大规模地组织人力抄写、整理前代散失的著作。为满足数学教育的需要，唐高宗时曾令太史令李淳风与算学博士梁述，太学助教王真儒等注释十部算经，作为国学教科书。
　　李淳风，岐州雍人（今陕西凤翔），明天文、历算、阴阳之学，唐高宗时任太史令。现在传本的算经十书每卷的第一页上都题 唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释.这十部算经是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。其中除王孝通的《缉古算经》是初唐作品外，其余都是以前的作品。这些著作，过去由于传抄不一，注述庞杂，错误较多。经李淳风等人认真校对，一一整理，对其中错误予以澄清。如传本《周髀》，有赵爽注，甄鸾重述，李淳风根据实际观测，修正了经文和他们注释的错误。指出《周髀》以 地差千里，影差一寸 的假定作为算法的根据，是脱离实际的。赵爽用等差极数插直法推算２４节气的表影尺寸，不符合实际测量结果。甄鸾对赵爽的 句股圆方图说 多有误解等等。又如《海岛算经》原本是刘徽附于《九章算术》之后的 重差 一卷，原著解题方法文字概括不易理解。李淳风等详细指明了解题中的演算步骤等。这些都为当时及后人的学习和研究提供了方便。正是由于李淳风等人的注释，又经政府规定为教科书，才使这１０部算经得以流传至今。但是李淳风等人的注释工作也存在明显的缺点和错误，如没有认识到刘徽割圆术的意义，甚至轻视刘徽的发现，这是不对的。也有的注解质量并不是很高。
　　尽管如此，这毕竟是一件古代数学的总结工作，对推动数学教育的开展和数学知识的普及具有重要意义。
　　数学教育的开展和数学知识的普及，无疑对当时的社会生产起了推动作用。隋唐五代时期出现了许多令世人皆叹的宏伟壮丽工程和精妙绝伦的制造技术，这些都与数学知识的发展和应用是分不开的。
　　但是由于传统思想的支配，统治阶级对经史治国的过分依赖，历代帝王不会把数学教育提高到应有的地位，随着封建统治内部矛盾的加深，对数学的重视也只能是每况愈下。唐时国子监原有算学学生３０人，至天宝以后，学校益废，生徒流散，贞元前后（约公元８００年）六馆已亡其三。至元和二年（公元８０７年）更定员额，西京书算馆各１０人，东都算馆仅２人而已。而且算学学生的社会地位非常低微，国子监博士的官阶是正五品上，算学博士的官阶是从九品下，所以杜佑的《通典》中说： 士族所趋唯明经、进士二科而已.这种 明经至上 的封建教育机制，不但未能使算学得到应有的支持，反倒成为算学发展的桎梏。大约至晚唐，明算科的考试便早已停止。
　　（二）王孝通和《缉古算经》
　　王孝通，唐代初期数学家。由于资料所限，其籍贯身世、生卒年代都不可详考。根据《旧唐书》、《新唐书》以及《唐会要》的记载，王孝通出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，在天文历算方面造诣很深。唐高祖武德年间（公元６２３年前后）担任算学博士，奉命与吏部郎中祖孝孙校勘傅仁钧制订的《戊寅历》，提出异议３０余条，被提升为太史丞。
　　王孝通把毕生的精力都用在数学的研究方面。称得上是这一时期最伟大的数学家。他的最大贡献是在总结前人研究的基础上，写作了《缉古算术》。
　　后因被列为１０部算经之一，改称为《缉古算经》。在这部书中，王孝通第一次提出并解决了开带从立方法，即求三次方程的正根，是我国现存最早的开带从立方的算书，在我国古代数学史上是一个突破。李约瑟在他的《中国科学技术史？数学卷》中曾这样描述： 在唐代（公元７世纪），王孝通成功地解决了三次数学方程 ， 在欧洲，斐波那契（公元１３世纪）是第一个提出王孝通那类问题的解法的人。有理由认为，他可能是受到东亚来源的影响.《缉古算经》全书二十问，第一问是有关天文历法的计算问题，可用算术解答。第二至十四问是立体问题，是以三次方程解答的问题。第十五至二十问是勾股问题，是以三或四次方程解答的问题。全书每问之后都有术文，说明方程各项系数的解法，在一些重要术文之后，都有王孝通的自注。注文一般是说明立术或建立方程的理论根据及运算过程。如书中第二问为： 假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问台道广、高、袤及县别给高、广、袤，各几何.关于仰观台和羡道的计算方法，王孝通给出四种计算方法。第一术是求仰观台高、广、袤术；第二术是均给积尺受广袤术；第三术是求羡道广、袤、高术；第四术是求羡道均给积尺，甲县受广、袤术。其中第二术术文为： 以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之为方法。又并二高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余，即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，如本高而一，所得，加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得，加上袤，即甲上袤。其甲上广、袤即乙下广、袤。台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此.术文之后，王孝通自注为： 此应三因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高为小幂二。乘下袤之高为中幂一。凡下袤、下广之高即是截高与上袤，上广之高相连并数。
　　然此中幂定有小幂一，又有上广之高乘截高为幂一。又下广之高乘下袤之高为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又有小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高为幂各一，又截高自乘为幂一。其中幂之内有小幂一，又有上袤之高乘截高为幂一。然则截高自相乘为幂二，小幂六。又上广上袤之高各三以乘截高为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广上袤之高各三，今但半之，各得一又二分之一，故三之二而一。诸幂乘截高为积尺.
　　多处有公式
　　根据术文，例为现代方程式，即为：
　　

  

  

　　关于王孝通写作《缉古算经》的目的，他在《上缉古算术表》（约公元６２６年）中称： 伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术，至于上宽、下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目；将来莫睹，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》.可以看出，王孝通是依据《九章算术》的算法，结合实际，创造性地编造了一些立方体积问题，用于解决一些土木工程的计算问题。他建立的三、四次方程及其解法，虽然依据几何的性质，只限于正解，但在我国古代数学发展史方面仍不失为辉煌的成就。就当时已有的数学水平而言，如何列出合乎题解需要的三次方程，是一个很困难的问题，直到宋元时期的 天元术 出现之后，这个问题才得到解决。
　　（三）二次内插法的建立
　　公元２０６年，刘洪在《乾象历》中首次提出一次内插法后，三国时期的杨伟，南北朝时期的何承天、祖冲之都是用一次内插法来计算日行度数。由于日、月视运动的不均匀性，用一次内插法所行的结果与实际误差很大。随着天文观测的进步，天文学家又发现了太阳视运动的不均匀性，因而要求有更精确的计算方法来推算日、月及五星运行度数。
　　公元６００年，隋代的天文学家刘焯在制定《皇极历》时，首先创立了等间距的二次内插公式，这是我国数学史和天文学史上的一个重大突破。刘洪应用的一次内插公式为：ｆ（ｎ＋ｓ）＝ｆ（ｎ）＋ｓ△［其中△是一级差分＝ｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）］。而刘焯的二次内插公式就比刘洪的一次内插公式精密的多。
　　刘焯的二次内插公式为：
　　

  

  

　　求太阳的视行度数时，ｌ是一节气的时间；求月行度数时，ｌ为一日的时间。利用这一公式计算所得到的历法精度大大提高。但是由于节气ｌ实际上不是按等间距变化，日、月、五星也不是作等加速运动，因此仍然存在缺点。
　　为了提高历法的精确度，唐代著名天文学家僧一行在公元７２７年，创立了不等间距的二次内插公式，不等间距二次内差公式为：
　　

  

　　当L１＝L２　　 时，和刘焯的等间距二次内插公式相同。一行较好地解决了与实际较大误差问题，利用这个公式编制的《大衍历》在推算日、月、五星运行度数方面比以前进了一大步，也使我国的天文历算大大走在世界的前列。
　　晚唐时的徐昂在公元８２２年制定《宣明历》时，所用的内插公式比一行的公式形式更为简单。
　　二次内插法的建立，标志着我国天文历算学进入一个新的里程。
　　（四）数学计算技术的改进
　　这一时期数学的进步，还表现在计算技术的改进方面。
　　从李淳风等注释１０部算经（公元６５６年）以后，到南宋秦九韶《数书九章》（１２４７年）以前，这５９２年中唐宋人的数学著作，现在都没有传本。只有一本韩延的算术书，因被冠于《夏侯阳算经》之名得以流传下来，从而保存了一些珍贵的史料。《韩延算书》约成书于公元７７４年前后，全书３卷共计８３个例题，除少部分例题和《五曹算经》、《孙子算经》相同外，其它都是结合当时的实际需要，为地方官吏和普通百姓提供适用的数学知识和计算技术。根据史料记载：这一时期的算学家，除已介绍的刘焯、王孝通、李淳风、僧一行等人外，还有陈从远、龙受益、边刚、刘孝孙等人。据《宋史？律历志》记载： 唐试右千牛卫，胄曹参军陈从远著《得一算经》，其术以因折而成。取损益之道，且变而通之，皆合于数.南宋王应麟《玉海》称： 江本撰《三位乘除一位算法》二卷，又以一位因折进退，作《一位算术》九篇，颇为简约.元代胡省三据《新唐书？历志》注《通鉴》称 刚（边刚）用算巧，能驰骋反覆于乘除间，由是简捷超径等接之术兴.《新唐书？艺文志》记载： 贞元人（公元７８５- ８０４年）龙受益《算法》二卷.《宋史？艺文志》记录：龙受益著有《算法》二卷，《求一算术化零歌》一卷，《算范要诀》二卷。虽然这些著作都没有流传下来，我们无法确切知道它们的具体内容，但不难看出，这一时期实用算术有了很大发展，人们积极从事计算技术的改进，在简化筹算乘除的演算手续，减轻数字计算工作方面取得了很大成绩。
　　古代的筹算乘除法都要排列上、中、下三层算筹。乘法，列乘数于上、下层，乘积列于中层。除法列被除数于中层，除数于下层，商数列于上层。
　　演算手续相当繁重。唐代劳动人民为了简化演算手续，想尽方法使乘除可以在一个横列里演算。在韩延算术中就有许多设法在一个横列里演算乘除的例子，如 课租庸调 章 求有闰年每丁（庸调）布二端（１端＝５丈）二丈二尺五寸法：置丁数七而七之，退一等，折半.如果设该地区丁数是α，每丁应纳庸调布为２。４５端，α丁共纳端数为α×２。４５，韩延算法采用α×７×7÷１０÷2代替α×2.４５，就可以在一个横列里演算了。又如当时兴起的 得一算法 或叫 求一算法 ，当乘数的第一位数码是１时，用加法 来代乘，除数的第一位数码是１时，用 减法 来代除。对乘除的第一位数码不是１时，把乘数或除数加倍或折半，使它的第一位数码变成１，同时对被乘数或被除数作相应的变化，然后用 加法 或 减法 代替乘或除，从而化简乘除的运算工作，并使之能在一个横列里演算。
　　除此之外，在十进小数的推广应用方面，也有了一定进展。古人记数，碰到整数以下的奇零部分，通常用分数表示。虽然，汉代的刘徽在他的《九章算术》少广章注中曾主张用一位或多位十进小数表示无理数平方根或立方根的奇零部分，但这个超时代的宝贵意见并没有被一般数学工作者采纳。而且它的推广应用还很迂回曲折和缓慢。唐中宗时，太史丞南宫说撰《神龙历法》（公元７０５年），创用百进小数来记数据的奇零部分，以１日为１００ 余 ，１ 余 为１００ 奇.如 期周３６５日，余２４，奇４８ 就是一回归年为３６５。２４４８日。 月法２９日，余５３，奇６ 就是一朔望月为２９。５３０６日。唐代宗时，韩延算术将一文以下的钱币单位用十进位推广到分、厘、毫、丝、忽五位，这些都是明显的进步。